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$證明：?(1)?因?yàn)?AB∥CD，??AD∥BC?$

$所以四邊形?ABCD?是平行四邊形$

$所以?∠B+∠BCD=180°?$

$因?yàn)?∠B=∠BCD?$

$所以?B=90°?$

$所以四邊形?ABCD?是矩形$

$?(2)?延長?BA，??CM?交于點(diǎn)?E?$

$因?yàn)?M?為?AD?的中點(diǎn)，?N?為?AB?的中點(diǎn)$

$所以?AN=BN=1，??AM=MD?$

$所以?AB=CD=2?$

$因?yàn)?AE∥DC?$

$所以?∠E=∠DCM?$

$在?△AEM?和?△DCM?中。$

$?\begin {cases}{∠E=∠MCD }\\{∠AME=∠DMC} \\{AM=DM} \end {cases}?$

$所以?△AEM≌△DCM(\mathrm {AAS}).?$

$所以?AE=CD=2?$

$因?yàn)?∠BNC=2∠DCM=∠E+∠NCE?$

$所以?∠NCE=∠DCM=∠E?$

$所以?CN=EN=AE+AN=2+1=3?$

$所以?BC2=CN2-BN2=32-12=8?$

$證明：? (1)?因?yàn)樗倪呅?ABCD?是正方形$

$所以?AD=CD，?? ∠A=∠ADC=∠BCD=90°?$

$所以?∠ADP+∠PDC=90°?$

$因?yàn)?∠PDC+∠CDQ=90°?$

$所以?∠ADP=∠CDQ?$

$在?△ADP ?和?△CDQ ?中$

$?\begin {cases}{∠ADP=∠CDQ }\\{AD=CD} \\{∠A=∠DCQ} \end {cases}?$

$所以?△ADP≌△CDQ(\mathrm {ASA})?$

$所以?DP=DQ?$

$?(2)?猜想?PE=QE?$

$因?yàn)?DE?平分?∠PDQ?$

$所以?∠PDE=∠EDQ=45°?$

$在?△PDE?和?△QDE?中$

$?\begin {cases}{PD=QD }\\{∠PDE=∠QDE} \\{DE=DE} \end {cases}?$

$所以?△PDE≌△QDE(\mathrm {SAS})?$

$所以?PE=QE?$

$?(3)?因?yàn)?AB：?? AP=3：??4，?? AB=6?$

$所以?AP=8，??BP=2?$

$由?(1)?可知?AP=CQ?$

$所以設(shè)?CE=a，??EQ=8-a?$

$由?(2)?可知?PE=EQ?$

$所以?PE=8-a?$

$在直角三角形?BPE?中$

$?BP2+ BE2= PE2?$

$所以?22+(6+a)2=(8- a)2?$

$所以?a=\frac {6}{7}?$

$?EQ=\frac {50}{7}?$

$所以?S_{△DEP} =\frac {1}{2}\ \mathrm {EQ}×CD=\frac {150}{7}?$

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