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$證明：∵?DF//BE ?$

$∴?∠DFE=∠BEA?$

$ ∴?∠AFD=∠CEB?$

$ 在?△AFD?和?△CEB?中$

$? \begin{cases}AF=CE\\∠AFD=∠CEB\\DF=BE\end{cases}?$

$ ∴?△AFD≌△CEB(\mathrm {SAS})?$

$ ∴?AD=BC，??∠DAF=∠BCE?$

$ ∴?AD//BC?$

$ ∴四邊形?ABCD?是平行四邊形$

$證明：∵四邊形??ABCD??是平行四邊形$

$ ∴??CD=AB，????AD=BC，????∠A=∠C??$

$ ∵??DH=BF??$

$ ∴??AD-DH=BC-BF，??即??AH=CF??$

$ 在??△AEH??和??△CGF ??中$

$?? \begin{cases}AE=CG\\∠A=∠C\\AH=CF\end{cases}??$

$ ∴??△AEH≌△CGF(\mathrm {SAS})??$

$ ∴??HE=GF??$

$ 同理可得??EF=HG??$

$ ∴四邊形??EFGH??是平行四邊形$

$ ∴??EG??與??FH??互相平分$

解：如圖所示，作等腰直角三角形底邊上的中線??$ C D ，$?? 將??$ \triangle A B C $??分成

兩個全等的等腰直角三角形，翻折其中一個三角形使??$ D C $??與??$ CD$??重合，

就可得到一個含有??$ 45° $??角的平行四邊形

∵??$CD$??為等腰直角三角形的斜邊上中線

∴??$CD=AD=BC，$????$AC=BC$??

∴??$A'D=BC，$????$A'C=BD$??

∴四邊形??$A'DBC$??是平行四邊形

其中??$∠B=45°$??

$解：連接?? A C 、???? B D ，?? 過點(diǎn)?? B 、???? D ??分別作?? A C ??的平行線，過點(diǎn)?? A 、???? C ??$

$分別作?? B D ??的平行線，它們圍成的四邊形?? E F G H ??是平行四邊形，$

$ 且面積是四邊形?? A B C D ??面積的?? 2 ??倍，如圖所示$

證明：過點(diǎn)??$ B_1 $??作??$ B_1 \mathrm E / / B C ，$?? 交??$ C C_1 $??于點(diǎn)??$ E ，$?? 連接??$ D E $??

∵??$CC_1//BB_1，$????$BC//B_1E$??

∴四邊形??$B_1BCE$??為平行四邊形

∴??$BB_1=CE，$????$BC=B_1E=AD，$????$B_1E//BC//AD$??

∴??$AD=B_1E，$????$∠DD_1A=∠EC_1B_1，$????$∠D_1AD=∠C_1B_1E$??

∴??$△ADD_1≌△B_1EC_1(\mathrm {AAS})$??

∴??$DD_1=C_1E$??

∴??$CC_1=C_1E+CE=DD_1+BB_1$??

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