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$解：若?△AQP∽△ABC?$

$則有?\frac {AQ}{AB}=\frac {AP}{AC}，?即?\frac {AQ}6=\frac 12?$

$∴?AQ=3?$

$若?△APQ∽△ABC?$

$則有?\frac {AP}{AB}=\frac {AQ}{AC}，?即?\frac {2}6=\frac {AQ}4?$

$∴?AQ=\frac {4}{3}?$

$綜上，?AQ ?的長為?3?或?\frac 43?$

一個銳角對應(yīng)相等

兩直角邊對應(yīng)成比例

$解：? (1)?相似$

$?AB=2\sqrt{5}，??AC=\sqrt{5}，??BC=5?$

$?DE= 4\sqrt{2}，??DF= 2\sqrt{2}，??EF= 2\sqrt{10}?$

$∴?\frac {AC}{DF}=\frac {AB}{DE}=\frac {BC}{EF}=\frac {\sqrt{10}}{4} ?$

$∴?△ABC∽△DEF?$

$?(2)△{P}_2{P}_5D，??{P}_4{P}_5F$

斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例

$在?Rt△ABC?和?Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}?$

$證明：設(shè)?\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=k?$

$則?AB=kA'B'，??BC=kB'C'?$

$∵?∠C=∠C'=90°?$

$∴?AC2= AB2- BC2，??A'C'2= A'B'2- B'C'2?$

$∴?AC2=k2(A'B'2-B'C'2)= k2A'C'2?$

$∴?AC= kA'C'?$

$∴?\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {BC}{B'C'}?$

$∴?Rt△ABC∽Rt△A'B'C'$

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