$證明:(2)∵四邊形ABCD是菱形$ $∴AD=DC,AO=OC,∠BAD=∠BCD$ $∴∠BAO=∠BCO=∠DAO=∠DCO$ $又∵∠AOE=∠COG,∠COF=∠AOH$ $∴△AOE≌△COG,△FOC≌△HOA∴OF=OH,OG=OE$ $∴四邊形EFGH是平行四邊形$ $∵OF=OH,OG=OE,OE=OH,OF=OH=OG=OE$ $∴FH=EG,∴四邊形EFGH是矩形$ $(3)（更多請點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）$ $(4)由(3)可得①當(dāng)AH=AE時，x=y$ $②∵AH的取值范圍為 3\sqrt {5}≤AH＜5\sqrt{5}且AH≠4\sqrt {5}$ $根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE的取值范圍為$ $3\sqrt {5}≤AE＜5\sqrt {5}且AE≠4\sqrt {5},即x+y=8\sqrt {5}$ $綜上可得x=y或x+y=8\sqrt {5}$ （更多請點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）
$解:∵∠AOD=90°,AO=10,OD=5$ $∴AD=\sqrt {AO^{2}+OD^{2}}=5\sqrt {5}$ $∴AB=BC=CD=AD=5\sqrt{5}$
$①當(dāng)四邊形EFGH形成的矩形如題圖①一樣時$ $AH=AE，此時AH滿足的條件為$ $0＜AH＜5\sqrt {5}$
$②當(dāng)四邊形EFGH形成的矩形如題圖②一樣時,OE=OH,AE≠AH,AH最大為AD=5\sqrt {5}$ $此時E、F、G、H不能形成矩形,AH最小時$ $由圖①可得點(diǎn)B與點(diǎn)E重合,點(diǎn)G與點(diǎn)D重合$ $對角線ED、FH交于點(diǎn)O,EH⊥AD$
$\ ∵AO⊥BD,BH⊥HG,AO=10$ $BD=OD×2=10,AD=5\sqrt {5}$ $∴S_{△ABD}=\frac{BD×AO}{2}=\frac{AD×BH}{2},解得BH=4\sqrt{5}$ $∴由勾股定理可得AH=\sqrt {AB^{2}-BH^{2}}=3\sqrt {5}$ $∵點(diǎn)H與點(diǎn)D重合時不能形成矩形$ $∴AH≠5\sqrt {5}$ $∴當(dāng)3\sqrt {5}≤AH＜5\sqrt {5}時$ $滿足四邊形EFGH為矩形$ $當(dāng)AH=4\sqrt {5}時，AE=4\sqrt {5}$ $如圖②所示$ $\ ∴此時四邊形EFGH同時滿足①②$ $∴不能形成兩個矩形，不滿足題意$ $綜上可得，當(dāng)AH滿足3\sqrt {5}≤AH＜5\sqrt {5}且AH≠4\sqrt {5}時$ $可作出兩個不同矩形EFGH. $
解:②如圖①，由題意得,E、F、G、H 是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn) 操作為將四邊形EBFO繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形EAQL 將四邊形OHDG繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形JHAP 將四邊形OGCF放在左上方空出部分 則AQ=BF=CF,AP=DG=CG,∠BFO=∠AQL ∵∠DAB+∠B+∠C+∠D=360° ∠QAE=∠B,∠PAH=∠D ∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ=360° ∴∠PAQ=∠C ∵∠BF0+∠CFO=180°,∴∠AQL+∠AQK=180° ∴K、Q、L三點(diǎn)共線 同理K、P、J三點(diǎn)共線 由操作得，∠2=∠L,∠3=∠J ∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180° ∴∠1+∠L=180°,∠1+∠J=180° ∴OJ//KL,OL//KJ ∴四邊形OJKL為平行四邊形
$解:如圖②，取AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)$ $E、H、G、F，連接FH$ $過點(diǎn)E點(diǎn) G分別作EM⊥FH,GN⊥FH$ $垂足為點(diǎn)M、N$ $將四邊形EBHM繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至$ $四邊形EAHM'$ $將四邊形FDGN繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°$ $至四邊形FAG'N'$ $將四邊形NGCH放置左上方空出部分$ $使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，CG與AG’重合$ $CH與AH'重合,點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N$ $則四邊形MM'N"N'即為所求矩形$
$由題意得，∠EMF=∠EMH=∠M'=90°$ $∠GNH=∠GNF=∠N'=90°$ $∴∠N'=∠M'MH=90°,H'M'//N'M$ $∴N'G//MM'$ $由操作得，∠1=∠4,∠2=∠3$ $∵∠1+∠2=180°,∴∠3+∠4=180°$ $∴N'',H',M'三點(diǎn)共線$ $同理N',G',N"三點(diǎn)共線.$ $∴∠N'=∠EMF=∠M'=90°$ $∴四邊形MM'N''N'為矩形$
$\ 如圖③，連接AC,EF,FG,GH,EH$ $∵E、H分別為BA、BC中點(diǎn)$ $∴EH//AC,EH=\frac{1}{2}AC$ $同理FG//AC,FG=\frac{1}{2}AC$ $∴FG//EH,FG=EH,∴∠EHM=∠GFN$ $∵∠EMF=∠CNH=90°,∴△EHM≌△GFN$ $∴EM=GN，MH=NF,∴FM=NH$ $由操作得AH'=BH,而BH=CH,∴AH'=CH$ $同理,AG'=CG$ $∵∠BAD+∠D+∠C+∠B=360°$ $∠D=∠G'AF,∠B=∠H'AE$ $∠BAD+∠HAE+∠G'AF+∠H'AG'=360°$ $∴∠HAG'=∠C$ $∵四邊形MM'N"N為矩形$ $∴ N'N''=MM,N"M'=N'M$ $∴N'F+FM=H'M'+H'N''$ $∴MF+NF=MF+MH=M'H'+N''H'$ $∴NH=N"H',同理NG=N"G'$ $∴四邊形NGCH能放置左上方空出部分$ $∴按照以上操作可以拼成一個矩形 $
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