$解:(1)將A(m，6)代入y=x+8得6=m+8$
$解得m=-2$
$∴A(-2,6),同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-6,2)$
$將A(-2,6)代入y=\frac{k}{x}得k=xy=-12$
$∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-\frac{12}{x}$
$(2)作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(2,6)$
$連接A'B交y軸于點(diǎn)P,連接AP，如圖①$
$此時(shí) AP+BP 的值最小$
$∵ A'B =\sqrt{[2-(-6)]^{2}+(6-2)^{2}}=4\sqrt {5}$
$AP=A'P,∴AP+BP的最小值為4\sqrt {5}$
$(3))存在設(shè)M(a,\frac{-12}{a}),N(b,0)$
$①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F$
$過點(diǎn)M作MH⊥BF,交FB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,如圖②$
$∵△MBN是以MN為底的等腰直角三角形$
$∴ BM=NB,∠MBN=90°,∴ ∠HBM+∠NBF=90°$
$∵ ∠HBM+∠HMB=90°,∠H=∠BFN,$
$∴∠NBF= ∠HMB$
$在△MHB 和△BFN 中$
$\begin{cases}{ ∠H=∠BFN }\ \\ { ∠BMH=∠NBF } \\{ BM=NB} \end{cases}$
$∴△MHB≌△BFN(AAS),∴HM=BF$
$∴a-(-6)=2-0,解得a=-4，∴M(-4,3)$
$②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖③$
$同理可得△MHB≌△NFB(AAS),∴BH=BF$
$∴(-6)-a=2-0,解得a=-8,∴M(-8,\frac{3}{2})$
$綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,3)或(-8,\frac{3}{2})\ $
