$證明:(1)∵四邊形APCD是正方形$ $∴PD平分∠APC,PC=PA$ $∴∠APD=∠CPD=45°$ $又PE=PE,∴△AEP≌△CEP(SAS)$ $(2)CF⊥AB,理由如下:$ $設(shè)CF與AP交于點M$ $∵△AEP≌ △CEP,∴∠EAP=∠ECP$ $∵∠EAP=∠BAP,∴∠BAP=∠FCP$ $∵∠FCP+∠CMP=90°,∠AMF=∠CMP$ $∴∠AMF+∠BAP=90°,∴∠AFM=90°$ $∴CF⊥AB$ $(3)（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）$ $解:∵AC是四邊形ABCD的和諧線$ $且AB=BC,∴△ACD是等腰三 角形$ $∵在等腰直角三角形ABD中$ $AB=AD,∴AB=AD=BC$ $如圖①，當AD=AC時,AB=AC=BC$ $∴△ABC是等邊三角形$ $\ ∴∠ABC=60°$
$如圖②,當DA=DC時，AB=AD=BC=CD$ $∵∠BAD=90°，∴四邊形ABCD是正方形$ $∴∠ABC=90°$
$如圖③，當CA=CD時，過點C作CE⊥AD于點E$ $過點B作BF⊥CE于點F$ $∵AC=CD,CE⊥AD,∴AE=ED,∠ACE=∠DCE$ $∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,∴ 四邊形ABFE是矩形$ $∴BF=AE$ $∵AB=AD=BC,∴BF=\frac{1}{2}BC,∴∠BCF=30°$ $∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC$ $∵AB//CE,∴∠BAC=∠ACE$ $∴∠ACB=∠BAC=\frac{1}{2}∠BCF=15°$ $∴∠ABC=180°-15°×2=150°$ $\ 綜上所述，∠ABC的度數(shù)為60°或90或150°$
$解:作CN⊥BG于點N$ $∴∠CNP=90°,∴∠PCN+∠CPN= 90°$ $∵∠APC=90°,∴∠APB+∠CPN=90°$ $∴∠PCN=∠APB$ $在△ABP 和△PNC 中$ $\ \begin{cases}{∠B=∠PNC\ }\ \\ {\ ∠APB=∠PCN} \\{ AP=PC} \end{cases}$ $∴ △ABP≌△PNC(AAS)$ $∴PB=CN,PN=AB=8$ $∵∠CNP=∠B=∠CFB=90°$ $∴四邊形BFCN是矩形$ $∴CN=BF,CF=BN,∴PB=BF$ $∵△AEP≌△CEP,∴EC=EA$ $∴△AEF的周長$ $=EA+EF+AF=EC+EF+AF$ $=CF+AF=BN+AF$ $=(8+PB)+(8-BF)=16 $
$解:連接GH，由(1)得AG=BH,AG//BH,∠B=90°$ $∴四邊形ABHG 是矩形$ $∴GH=AB=6,則AC= \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=10$ $如圖①,當四邊形EGFH是矩形時$ $則EF=GH=6$ $∵AE=CF=t,∴EF=10-2t=6，∴t=2$
$如圖②，當四邊形EGFH是矩形時$ $∵EF=GH=6,AE=CF=t$ $∴EF=t+t-10=2t-10=6，∴t=8$ $綜上，當四邊形EGFH為矩形時，t=2或8$
$解:如圖③，連接AH、CG、GH$ $AC與GH交于點O,M為AD邊的中點$ $N為BC邊的中點$ $∵四邊形EGFH為菱形,∴GH⊥EF$ $OG=OH,OE=OF$ $∴OA=OC,AG=AH$ $∴四邊形AGCH為菱形,∴AG=CG$ $設(shè)AG=CG=x，則DG=8-x$ $由勾股定理可得CD^{2}+DG^{2}=CG^{2}$ $解得x=\frac{25}{4}$ $∴MG=AG-AM=\frac{25}{4}-4=\frac{9}{4}$ $即t=\frac{9}{4}$ $∴當四邊形EGFH為菱形時，t=\frac{9}{4} $
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