$解:在直線CB上存在一點Q$
$使得以O(shè)、D、Q、P點為頂點的四邊形是菱形$
$①當點Q在點P的右邊時，如圖①$
$∵四邊形ODQP為菱形，∴OD=OP=PQ=5$
$∴在Rt△OPC中,由勾股定理得$
$PC=\sqrt {OP^{2}-OC^{2}}=3$
$∴2x=3,∴x=1.5$
$∵CQ=PC+PQ=3+5=8,OC=4,∴Q(8,4)$
$②當點Q在點P的左邊且在線段BC上時,如圖②$
$∵四邊形ODPQ為菱形,∴OD=OQ=PQ=5$
$在Rt△QQC中,由勾股定理得$
$CQ= \sqrt{OQ^{2}-OC^{2}}=3,∴Q(3,4)$
$∵CP=CQ+PQ=3+5=8,∴2x=8,∴x=4$
$③當點Q在點P的左邊且在BC的延長線上時，如圖③$
$∵四邊形ODPQ為菱形,∴OD=QQ=PQ=5$
$在Rt△OQC中，由勾股定理得$
$CQ^{2}=\sqrt{QQ^{2}-OC^{2}}=3,∴Q(-3,4)$
$∵CP=PQ-CQ=5-3=2，∴2x=2，∴x=1$
$綜上可知，以O(shè)、D、Q、P四點為頂點的$
$四邊形是菱形時$
$有三種情況:x=1.5,Q(8,4);$
$x=4,Q(3,4);x=1,Q(-3,4) $
