$解:如圖①，連接BD，取BD的中點(diǎn)H$
$連接HE、FH$
$∵E、H分別是AD、 BD的中點(diǎn)$
$∴EH//AB,EH=\frac{1}{2}AB$
$∴∠BME=∠HEF$
$∵F、H分別是BC、BD的中點(diǎn)$
$∴FH//CD,FH=\frac{1}{2}CD$
$∴ ∠CNE=∠HFE$
$∵AB=CD,∴HE=FH$
$∴∠HEF=∠HFE,∴∠BME=∠CNE$
$問題一:△OMN為等腰三角形$
$問題二:△AGD是直角三角形$
$證明:如圖③，連接BD，取BD的中點(diǎn)H$
$連接HF、HE$
$∵F是AD的中點(diǎn),∴HF//AB,HF=\frac{1}{2}AB$
$同理，HE//CD，HE=\frac{1}{2}CD$
$∵AB=CD,∴HF=HE$
$∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°$
$∴∠HEF=∠HFE=60°$
$∴△EHF是等邊三角形$
$∴∠AGF=∠HFE=∠EFC=∠AFG=60°$
$∴△AGF是等邊三角形$
$∵AF=FD,∴GF=FD$
$∴∠FGD=∠FDG=30°,∴∠AGD=90°$
$即△AGD是直角三角形$
$問題三:如圖④，連接BD，取BD的中點(diǎn)H$
$連接EH、HF$
$∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)$
$∴EH//AB,EH=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
$HF//CD,HF=\frac {1}{2}CD=6$
$∴ ∠HEF=∠BMF,∠HFE=∠CNF$
$又∵ EF=\frac{13}{2},∴EF^{2}=\frac{169}{4}$
$∵ EH^{2}=\frac{25}{4},HF^{2}=36EH^{2}+HF^{2}=\frac{169}{4}$
$∴ EF^{2}=EH^{2}+HF^{2}$
$∴△EHF是直角三角形，∴∠EHF=90°$
$∴ ∠HEF+∠HFE=90°,∴∠BMF+∠CNF=90°$
