$解:(1)由題意可得:\begin{cases}{9a-2×3+c=0}\\{c=-3}\end{cases}$
$解得a=1,c=-3$
$∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-2x-3$
$(2)P(1,-3)、Q(4,0)或P(1,3)、Q(-2,0)$
$(3)存在,在y=x2-2x-3中,令y=0，得x_{1}=-1，x_{2}=3.$
$∴A(-1,0).$
$又∵ y=x2-2x-3=(x-1)2-4，$
$∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4),對(duì)稱軸為直線x=1.$
$∵B(3,0),$
$∴ BD2=22+42=20,CD2=12+12=2,BC2=32+32=18.$
$∴CD=\sqrt{2},BC=3 \sqrt{2},BD2=CD2+BC2.$
$∴△BDC是直角三角形，且∠BCD=90°.$
$假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0),則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,m2-2m-3).$
$根據(jù)題意，得∠AMG=∠BCD=90°.$
$∴要使以A、M、G為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，需要滿足條件\frac{AM}{MG}=\frac{BC}{CD}或\frac{AM}{MG}=\frac{CD}{BC}.$
$①當(dāng)m＜-1時(shí)，有\(zhòng)frac{-1-m}{m2-2m-3}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}或\frac{-1-m}{m2-2m-3}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}，$
$解得m_{1}=\frac{8}{3},m_{2}=-1或m_{3}=0，m_{4}=-1，都不合題意.$
$∴當(dāng)m＜-1時(shí)，無(wú)解.$
$②當(dāng)m=-1時(shí)，點(diǎn)A、M、G重合，無(wú)法構(gòu)成三角形，$
$∴ 不符合題意.\ $
$③ 當(dāng)-1＜m＜3 時(shí),有\(zhòng)frac{m+1}{-(m2-2m-3)}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}或\frac{m+1}{-(m2-2m-3)} =\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}，$
$解得m_{5}=\frac{8}{3},m_{6}=-1(不合題意，舍去)或m_{7}=0，m_{8}=-1(不合題意，舍 去).$
$此時(shí)存在M(\frac{8}{3},0)或M(0,，0).$
$④當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)M、G重合，無(wú)法構(gòu)成三角形，$
$∴ 不符合題意.$
$⑤ 當(dāng)m＞3時(shí)，有\(zhòng)frac{m+1}{m2-2m-3}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}或\frac{m+1}{m2-2m-3}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}，$
$解得m_{9}=\frac{10}{3}，m_{10}=-1(不合題意，舍去)或m_{11}=6,m_{12}=-1(不合題意，舍去).$
$此時(shí)存在M(\frac{10}{3},0)或M(6,0).$
$綜上所述，存在點(diǎn)M,使得以A、M、G為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(\frac{8}{3},0)或(0,0)或(\frac{10}{3},0)或(6,0)$
