$解:(2)由(1)，得\frac{BC}{EM}=\frac{BM}{EH}.$ $設(shè)EH=y，BM=x.$ $∵BE=10，$ $∴EM=10-x.\ $ $∴\frac{2}{10-x}=y.\ $ $∴ y=-\frac{1}{2}x2+5x=-\frac{1}{2}(x-5)2+12.5.$ $∵-\frac{1}{2}＜0,$ $∴當(dāng)x=5時(shí)，y取得最大值，為12.5.$ $∴HE長的最大值為12.5$ （更多請點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）
$解:(2)設(shè)BC與DF的交點(diǎn)為I.$ $∵∠DBI=∠CFI=45°,∠BID=∠FIC,$ $∴△BID∽△FIC.$ $∴\frac{BI}{FI}=\frac{DI}{CI}，即\frac{BI}{DI}=\frac{FI}{CI}$ $∵∠BIF=∠DIC,$ $∴△BIF∽△DIC.$ $∴∠IBF=∠IDC.$ $∵∠IDC=90°，$ $∴∠IBF=90°$ $∵∠ABC=45°,$ $∴∠ABF= ∠ABC+∠IBF=135°$ （更多請點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）
$證明:(1)∵DF是由線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針$ $方向旋轉(zhuǎn)90°得到的，$ $∴∠FDC=90°,FD=CD.$ $∴∠DFC=45°.$ $∵AB=AC,AO⊥BC，$ $∴∠BAO=\frac{1}{2}∠BAC.$ $∵∠BAC=90°,$ $∴∠BAO=∠ABC=45°.$ $∴∠BAO=∠DFC.$ $∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°，$ $∴∠EDA=∠M.$ $∴△ADE∽△FMC$
$解:(1)設(shè)BM=x，則ME=10-x.$ $∵四邊形ABCD是正方形，$ $∴∠ABC=90°,BC=AB=2.$ $∴∠CBM=90°$ $∵ 四邊形EFGH是正方形，$ $∴∠HEF=90°,HE=EF=12.$ $∴∠MEH=90°.$ $∴∠EMH+∠EHM=90°.$ $∵∠PMN=90°,$ $∴∠BMC+∠EMH=90°$ $∴∠BMC=∠EHM.$ $∵∠CBM=∠MEH=90°,$ $∴△BCM∽△EMH.$ $∴\frac{BC}{EM}=\frac{BM}{EH}，$ $即\frac{2}{10-x}=\frac{x}{12}.$ $整理，得x2-10x+24=0，$ $解得x=4或6.$ $經(jīng)檢驗(yàn)，x=4或6均是原分式方程的解，$ $且符合題意.$ $∴BM=4或6.$ $∴點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離是4或6$
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