$解:(1)∵OA=2,OC=6,$
$∴A(-2,0)、C(0,-6).$
$∵拋物線y=x2+bx +c 經(jīng)過點 A、C,\ $
$∴ \begin{cases}{4-2b+c=0，}\\{c=-6}\end{cases}$
$解得 b=-1, c=-6\ $
$∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-x-6\ $
$(3)過點E作EG⊥x軸于點G，交直線BC于點F.$
$在y=x2-x-6中，令y=0，得x=3或x=-2.$
$∴B(3,0).$
$又∵C(0,-6),$
$∴易求得直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=2x-6.$
$設(shè)點E的坐標(biāo)為(t,t2-t-6),0＜t＜3,則F(t,2t-6).$
$∴ EF=(2t-6)-(t2-t-6)=-t2+3t.\ $
$∴S_{△BCE}=S_{△BEF}+S_{△CEF}=\frac{1}{2}×EF×BG+\frac{1}{2}×EF×OG=\frac{1}{2}×EF×(BG+OG)=\frac{1}{2}×EF×OB$
$=\frac{1}{2}×(-t2+3t)×3=-\frac{3}{2}t2+\frac{9}{2}\ \mathrm {t}=-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})2+\frac{27}{8}$
$∵ -\frac{3}{2}＜0,0＜t＜3,$
$∴ 當(dāng)t=\frac{3}{2}時，△BCE的面積最大，面積的最大值為\frac{27}{8}.$
$此時點E的縱坐標(biāo)為t2-t-6=(\frac{3}{2})2-\frac{3}{2}-6=-\frac{21}{4},$
$即點 E 的坐標(biāo)為 (\frac{3}{2}，-\frac{21}{4})$
$(4)存在,點 N 的坐標(biāo)為(2，0)或(-2,2 \sqrt{10})或(-2,-2 \sqrt{10})或(-2,-\frac{10}{3})$
