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$證明:(1)∵將△ABC沿直線AB翻折到△ABD，$

$∴AB⊥CD.\ $

$∴∠DEB=90°$

$∵AB為⊙O的直徑，AG是⊙O的切線，$

$∴AG⊥AB.$

$∴∠GAB=90°.$

$∴∠DEB=∠GAB.$

$∴AG//CD$

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$解：如圖，過點B作BH⊥AE于點H.$

$ $

$∵ 坡度i為1：0.75，$

$∴ 設(shè)BH=4x(x\gt 0)m，則AH=3xm，$

$∴ 在Rt△AHB中，AB= \sqrt{AH2+BH2} =5x=10，$

$解得x=2，$

$∴ AH=6m，BH=8m.$

$過點B作BF⊥CE于點F，$

$則四邊形BHEF為矩形，$

$∴ EF=BH=8m，BF=EH.$

$設(shè)DF=ym.$

$∵ 在Rt△BFD中， tana = \frac {DF}{BF}$

$∴ BF= \frac {DF}{tan{26}°35'}≈\frac {y}{0.50}=2 y(\mathrm {m})，$

$∴ AE=(6+2y)m.$

$∵ 坡度i為1：0.75，$

$∴ CE：AE=(20+y+8)；$

$(6+2y)=1：0.75，$

$解得y=12.$

$∴ DF=12m，$

$∴ DE=DF+EF=12+8=20(\mathrm {m}).$

$答：堤壩高為8m，山高DE約為20m$

$證明:(2)由(1)，得AG⊥AB，$

$∴∠GAD+∠BAD=90°$

$∵AB為⊙O的直徑，$

$∴ ∠ADB=90°$

$\ ∴ ∠BAD+∠ABD=90°.\ $

$∴∠ABD=∠GAD.$

$由翻折，可得∠ABD=∠ABC,$

$∴∠DBC=2∠ABD.$

$∵四邊形ADBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，$

$∴∠DAC+∠DBC=180°.\ $

$∵ ∠DAC+∠PAD=180°,$

$∴ ∠PAD=∠DBC=2∠ABD.$

$∴∠PAG=∠PAD-∠GAD=2∠ABD-∠ABD=∠ABD.$

$又∵∠APG=∠BPA,$

$∴△APG∽△BPA.\ $

$∴\frac{AP}{BP}=\frac{PG}{PA}，$

$∴PA2=PG.PB$

$解:(3)∵AB為⊙O的直徑$

$∴∠ACB=∠ADB=∠ADP=90°$

$∴在△ADG中,∠AGB+∠GAD=90°.$

$由(2),得∠GAD+∠BAD=90°,$

$∴∠AGB= ∠BAD.$

$由sin∠APD=\frac{AD}{AP}=\frac{1}{3}，$

$設(shè)AD=a，則AP=3a，$

$∴由勾股定理，得PD= \sqrt{AP2-AD2}=2\sqrt{2}a.$

$∴tan∠APD=\frac{AD}{PD}= \frac{a}{2\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

$由翻折，可得AC=AD=a,BD=BC，$

$∴ PC=PA+AC=3a+a=4a.$

$∵在Rt△PCB中,tan∠CPB=\frac{CB}{PC}=\frac{\sqrt{2}}{4},$

$∴BD=BC=\frac{\sqrt{2}}{4}PC=\sqrt{2}a.$

$∴tan∠AGB=tan∠DAB=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$

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