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$解:(1)∵BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2},AD=BC,$

$∴AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\ $

$∵AB=AC=1，$

$∴CD=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$∴AD2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})2=\frac{3-\sqrt{5}}{2},$

$AC×CD=1×\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$∴AD2=AC×CD$

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$解：(2)∵AD=BC，{AD}^{2}=AC·CD$

$∴{BC}^{2}=AC·CD，即\frac {BC}{AC}=\frac {CD}{CB}$

$又∵∠C=∠C$

$∴△BCD∽△ACB$

$∴\frac {BC}{AC}=\frac {BD}{AB}，∠DBC=∠A$

$又∵AB=AC$

$∴易得BD=BC=AD，∠ABC=∠C$

$∴∠ABD=∠A=∠DBC$

$設(shè)∠ABD=x，則∠A=∠DBC=x$

$∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2x$

$∴∠C=2x$

$∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°$

$∴x+2x+2x=180°，解得x=36°$

$∴∠ABD=36°$

$證明:(1)①∵四邊形ABCD是平行四邊形，$

$∴AD//BC,AD=BC.$

$∴∠EAH=∠FCH.$

$∵S_{△ABE}=S_{△DCE},$

$∴易得AE=DE=\frac{1}{2}AD.$

$∵F是BC的中點(diǎn)，$

$∴CF=\frac{1}{2}BC.$

$∴CF=AE.$

$∵∠AHE=∠CHF,$

$∴△AEH≌△CFH.$

$∴AH=CH.$

$∴H是AC的中點(diǎn)\ $

$②∵∠EAH=∠FCH,∠AGE=∠CGB，$

$∴△AGE∽△CGB.$

$∴\frac{AG}{CG}=\frac{AE}{CB}$

$∴\frac{AG}{CG}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}\ $

$設(shè)AG=2a，$

$則CG=4a，$

$∴AC=AG+CG=6a，$

$∴AH=CH=3a.$

$∴GH=AH-AG=a，$

$∴AG:GH:HC=2a;a:3a=2:1:3$

$解:(2)AM=3AN\ $

$如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQ//BC，交CN的延長(zhǎng)線(xiàn)于$

$點(diǎn)Q.$

$∵在平行四邊形ABCD中，AD∥CB，$

$即ED//BC,\ $

$∴△MED∽△MBC.$

$∴ \frac{EM}{BM}=\frac{ED}{BC}$

$∴ \frac{EM}{BM}=\frac{ED}{AD}=\frac{1}{2}$

$∴EM=\frac{1}{2}\ \mathrm {BM}=BE.$

$∵M(jìn)Q//BC,$

$∴∠MQE=∠BCE.\ $

$∵∠MEQ=∠BEC,EM=EB,$

$∴△MQE≌△BCE.$

$∴MQ=BC.$

$∴\ MQ=AD.\ $

$∵ MQ//BC,AD//CB,$

$∴ MQ//AD.\ $

$∴∠MQE=∠AEN.\ $

$∵∠MNQ=∠ANE,$

$∴△MQN∽△AEN.$

$∴\frac{MN}{AN}=\frac{MQ}{AE}$

$∴\frac{MN}{AN}=\frac{AD}{AE}=2.$

$∴ MN=2AN.\ $

$∴AM=MN+AN=3AN$

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