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$證明：(1)連接OA.$

$∵ DA×AC=DC×AB，∴\frac {DA}{DC}=\frac {AB}{AC}$

$∵ BC是⊙O的直徑，$

$∴ ∠BAC=90°.$

$∵ EA⊥CD，$

$∴ ∠ADC=90°，$

$∴ ∠BAC=∠ADC，$

$∴ △ABC∽△DAC，$

$∴ ∠ACB=∠DCA.$

$∵ OA=OC，$

$∴ ∠OAC=∠ACB，$

$∴ ∠OAC=∠DCA，$

$∴ OA//CD，$

$∴ ∠OAE=∠CDE=90°，$

$∴ OA⊥DE.$

$又 ∵ OA為⊙O的半徑，$

$∴ 直線EA是⊙O的切線$（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）

$解：(1)由題意，分三種情況討論：①{AC}^{2}=AB·BC$

$∴AC=\sqrt {6}(負值舍去)$

$②{AB}^{2}=AC·BC$

$∴AC=\frac 4 3$

$③{BC}^{2}=AB·AC$

$∴AC=\frac 9 2$

$綜上所述，AC的長為\sqrt {6}或\frac 4 3或\frac 9 2$

$(2)∵AD//BC,$

$∴∠ACB=∠CAD,$

$又∵∠BAC=∠ADC,$

$∴△ABC\backsim △DCA,$

$∴\frac {BC}{CA}=\frac {CA}{AD}，即CA^{2}=\ \text {BC}·AD,$

$∵AD//BC,$

$∴∠ADB=∠CBD,$

$∵BD平分∠ABC,$

$∴∠ABD=∠CBD,$

$∴∠ADB=∠ABD,$

$∴AB=AD,$

$∴CA^{2}=\ \text {BC}·AB,$

$∴△ABC是比例三角形.$（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）

$解:(2) ∵ BC=BE，$

$∴ S_{△BAE}=S_{△ABC}= \frac {1}{2}\ \mathrm {S}_{△ACE}.$

$∵ OB=OA，$

$∴ ∠OBA=∠OAB.$

$∵ ∠BAC=90°，∠OAE=90°，$

$∴ ∠OBA +∠ACE=90°，∠OAB +∠BAE=90°，$

$∴ ∠ACE=∠BAE.$

$又 ∵ ∠E=∠E.$

$∴ △ACE∽△BAE$

$∴ \frac {S_{△ACE}}{S_{△BAE}} = \frac {AC2}{BA2} =2.$

$設BA2=x，則AC2=2x。$

$∴ 在Rt△BAC中，BC2=AC2+BA2=3x，$

$∴ \frac {AC2}{BC2} = \frac {2x}{3x} = \frac {2}{3} .$

$由(1)，得△ABC∽△DAC，$

$∴ \frac {S_{△DAC}}{S_{△ABC}} = \frac {AC2}{BC2} = \frac {2}{3} ，$

$即 \frac {S_{△ACD}}{S_{△BAE}} = \frac {2}{3} ，$

$∴ S_{△ACD}= \frac {2}{3}S_{△BAE}，$

$∴ m=\frac {2}{3}$

$解：(3)過點A作AH⊥BD于點H$

$∵AD=AB，AH⊥BD$

$∴∠BHA=90°，BH=\frac 1 2BD$

$∵AD//BC$

$∴∠ADC=90°$

$∴∠BCD=180°-∠ADC=90°$

$∴∠BHA=∠BCD=90°$

$又∵∠ABH=∠DBC$

$∴△ABH∽△DBC$

$∴\frac {AB}{DB}=\frac {BH}{BC}，即AB·BC=BH·DB$

$∴AB·BC=\frac 1 2{BD}^{2}$

$又∵AB·BC={AC}^{2}$

$∴\frac 1 2{BD}^{2}={AC}^{2}$

$∴\frac {BD}{AC}=\sqrt {2}$

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