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$\frac{4}{5} $

$解：(3){MN}^{2}=PN·DN，證明如下：$

$連接AM，$

$∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM$

$∴△AD'M≌△ADM$

$∴∠MAD'=∠MAD$

$∵∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP$

$∴∠AMN=∠NAM$

$∴MN=AN$

$在△NAP和△NDA中，∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA$

$∴△NAP∽△NDA$

$∴\frac {PN}{AN}=\frac {AN}{DN}$

$∴{AN}^{2}=PN·DN$

$∴{MN}^{2}=PN·DN$

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$解：(1)設BC=x$

$∵矩形ABCD繞點A按順時針方向旋轉90°$

$得到矩形ABC'D'$

$∴點A、B、D'在同一條直線上，AD'=AD=BC=x，D'C'=AB'=AB=1，$

$∠BAD=∠D'=90°$

$∴D'C'//DA$

$又∵點C'在線段DB的延長線上$

$∴∠D'C'B=∠ADB$

$∴△D'C'B∽△ADB$

$∴\frac {D'C'}{AD}=\frac {D'B}{AB}$

$∴\frac 1 x=\frac {x-1}{1}$

$解得x_1=\frac {1+\sqrt {5}}2，x_2=\frac {1-\sqrt {5}}2(不合題意，舍去)$

$∴BC=\frac {1+\sqrt {5}}2$

$解：(2)DM=D'M，理由如下：$

$連接DD'，$

$∵D'M//AC'$

$∴∠AD'M=∠D'AC'$

$∵由題意，得AD'=AD，$

$∠AD'C'=∠DAB=90°，$

$D'C'=AB$

$∴△AC'D'≌△DBA$

$∴∠D'AC'=∠ADB$

$∴∠ADB=∠AD'M$

$∵AD=AD'$

$∴∠ADD'=∠AD'D$

$∴∠ADD'-∠ADB=∠AD'D-∠AD'M$

$∴∠MDD'=∠MD'D$

$∴DM=D'M$

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