$解:過點A作AH⊥BC于點H，交GF于點M.$
$∵△ABC的面積是6,BC=4，$
$∴\frac{1}{2}×4AH=6.$
$∴AH=3.$
$∵四邊形DEFG是正方形，$
$∴GF=DG,GF//DE,即GF//BC.$
$∴AH⊥GF.$
$∴易得GF=DG=MH.$
$設(shè)正方形DEFG的邊長為x，則GF=MH=x，AM=3-x，$
$∵ GF//BC,$
$∴ △AGF∽△ABC.$
$∴\frac{GF}{BC}=\frac{AM}{AH}，即\frac{x}{4}=\frac{3-x}{3}，解得x=\frac{12}{7}$
$∴正方形DEFG的邊長為\frac{12}{7}$
