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D

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

$1或2$

$解:根據(jù)題意，得AD=BC=6\ \mathrm {cm}，CD=AB=3\ \mathrm {cm},∠D=∠MAN=90°.$

$設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s,則MA=t\ \mathrm {cm},NA=(6-2t)\ \mathrm {cm}.$

$分兩種情況討論:①當(dāng)△ACD∽△MNA時(shí)，\frac{AD}{MA}=\frac{CD}{NA},$

$∴\frac{6}{t}=\frac{3}{6-2t}，$

$解得t=2.4.$

$②當(dāng)△ACD∽△NMA時(shí)，\frac{AD}{NA}=\frac{CD}{MA}，$

$∴\frac{6}{6-2t}=\frac{3}{t}，$

$解得t=1.5.$

$綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2.4s或1.5s時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似$

$解:(2)∵△ACP∽△PDB,$

$∴∠A=∠BPD.$

$∵△PCD是等邊三角形，$

$∴∠CPD=∠DCP=60°.$

$∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=∠APC+∠CPD+∠A=∠DCP+∠CPD=120°$

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$解:(1)當(dāng)AC、CD、DB滿足CD2=AC$

$×DB時(shí),△ACP∽△PDB 理由:$

$∵ △PCD 是等邊三角形，$

$∴ ∠PCD=∠PDC=60°,PD=CD=CP.$

$∴∠ACP=∠PDB=120°$

$∴當(dāng)\frac{AC}{PD}=\frac{CP}{DB}，$

$即\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{DB}時(shí)，△ACP∽△PDB.$

$∴當(dāng)CD2=AC×DB時(shí),△ACP∽△PDB.$

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