解：?$(1)$?∵?$∠BOC=20°$?
∴?$∠AOB=180°-∠BOC=160°$?
∵?$OD$?平分?$∠AOB$?
∴?$∠BOD=\frac 12∠AOB=80°$?
?$(2)①$?設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?$t $?秒，則?$0≤t≤180÷30=6$?
以射線?$OC$?為起始邊
則射線?$OP $?在?$(20+10\ \mathrm {t})°$?處、射線?$OQ $?在?$10\ \mathrm {t}°$?處
得?$∠POQ $?的平分線在?$\frac {20+10\ \mathrm {t}+10\ \mathrm {t}}2$?度即?$(10\ \mathrm {t}+10)°$?處
射線?$OM$?在?$(180-30\ \mathrm {t})°$?處
令?$180-30\ \mathrm {t}=10\ \mathrm {t}+10$?，得?$t=\frac {17}4$?
即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為?$\frac {17}4$?秒時(shí)，
射線?$OM$?與?$∠POQ $?的平分線重合；
?$②∠MOP=|160-40\ \mathrm {t}|°$?，?$∠MOQ=|180-40\ \mathrm {t}|°$?
則?$|160-40t|=\frac 12|180-40\ \mathrm {t}|$?，
即?$|160-40\ \mathrm {t}|=|90-20\ \mathrm {t}|$?
得?$160-40t=±(90-20t)$?，解得?$t=\frac 72$?或?$\frac {25}6$?
得?$∠AOM=30\ \mathrm {t}°=105°$?或?$125°$?
即運(yùn)動(dòng)?$\frac 72$?秒或?$\frac {25}6$?秒時(shí)，?$∠MOP=\frac 12∠MOQ$?，
此時(shí)?$∠AOM=105°$?或?$125°$?
