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$解:(2)AB=CD+AC.$

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$解：相等．$

$理由：連EB、EC，$

$∵AE是∠BAC的平分線，$

$且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，$

$∴EF=EG．$

$∵ED⊥BC于D，D是BC的中點，$

$∴EB=EC，$

$在Rt△EFB與Rt△EGC中，$

$\begin{cases}{EF=EG}\\{EB=EC}\end{cases}$

$∴Rt△EFB≌Rt△EGC，$

$∴BF=CG．$

$解：如圖，過點M作MD⊥BC于點D，交BG的延長線于E，$

$∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°， $

$∴∠A=∠ABC=45°. $

$∵∠GMB=\frac{1}{2}∠A， $

$∴∠GMB=\frac{1}{2}∠A=22.5°. $

$∵BG⊥MG， $

$∴∠BGM=90°， $

$∴∠GBM=90°-22.5°=67.5°， $

$∴∠GBH=∠EBM-∠ABC=22.5°. $

$∵MD∥AC， $

$∴∠BMD=∠A=45°， $

$∴△BDM為等腰直角三角形， $

$∴BD=DM， $

$而∠GBH=22.5°， $

$∴GM平分∠BMD， $

$而BG⊥MG， $

$∴BG=EG，即BG=\frac{1}{2}BE. $

$∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°， $

$∴∠MHD=∠E. $

$∵∠GBD=90°-∠E，∠HMD=90°-∠E， $

$∴∠GBD=∠HMD， $

$∴在△BED和△MHD中， $

$\left\{ \begin{array}{l}{∠E＝∠MHD} \\ {∠EBD＝∠HMD} \\ {BD＝MD} \end{array} \right.， $

$∴△BED≌△MHD（AAS）， $

$∴BE=MH， $

$∴BG=\frac{1}{2}MH=4\ \mathrm {cm}. $

$解:(1)過D作DE⊥AB，交AB于點E，$

$如圖1所示，$

$∵AD為∠BAC的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，$

$∴DE=DC，$

$在Rt△ACD和Rt△AED中，$

$\begin{cases}{AD=AD，}\\{DE=DC，}\end{cases}$

$∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），$

$∴AC=AE，∠ACB=∠AED，$

$∵∠ACB=2∠B，$

$∴∠AED=2∠B，$

$又∵∠AED=∠B+∠EDB，$

$∴∠B=∠EDB，$

$∴BE=DE=DC，$

$則AB=BE+AE=CD+AC$

$解:(3)AB=CD-AC，理由為： $

$在AF上截取AG=AC，如圖3所示，$

$∵AD為∠FAC的平分線，$

$∴∠GAD=∠CAD，$

$∵在△ADG和△ACD中，$

$\begin{cases}{AG=AC}\\{∠GAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{cases}$

$∴△ADG≌△ACD（SAS），$

$∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，$

$∵∠ACB=2∠B，$

$∴∠FGD=2∠B，$

$又∵∠FGD=∠B+∠GDB，$

$∴∠B=∠GDB，$

$∴BG=DG=DC，$

$則AB=BG-AG=CD-AC．$

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