解：??$(2)①$??因?yàn)??$∠POM=90°$??，??$∠POC=β$??，所以??$∠COM=90°-β$??，
因?yàn)樯渚€??$OC$??是??$∠BOM$??的平分線，所以??$∠BOM=2∠COM=180°-2β$??，
所以??$∠BON=180°-(180°-2β)=2β.$??
??$②$??當(dāng)??$OA$??位于??$∠QOM$??內(nèi)部時(shí)，
因?yàn)??$OC$??平分??$∠BOM$??，所以??$∠BOC=∠COM$??，
因?yàn)??$∠AOC=2∠AOM$??，所以??$∠AOM=∠COM$??，
所以??$∠AOM=∠COM=∠BOC=\frac {1}{3}∠AOB$??，
因?yàn)??$∠AOB=90°$??，所以??$∠COM=30°$??，
所以??$β=90°-30°=60°$??；
當(dāng)??$OA$??位于??$∠POM$??內(nèi)部時(shí)，如備用圖，
因?yàn)??$∠POM=90°$??，??$∠POC=β$??，
所以??$∠COM=90°-β$??，
因?yàn)??$OC$??平分??$∠BOM$??，
所以??$∠BOM=2∠COM=180°-2β$??，??$∠BOC=∠COM=90°-β$??，
所以??$∠AOM=180°-2β-90°=90°-2β$??，??$∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-(90°-β)=β$??，
因?yàn)??$∠AOC=2∠AOM$??，所以??$β=2(90°-2β)$??，
解得??$β=36°.$??
綜上所述，若??$∠AOC=2∠AOM$??，則??$β$??的值為??$60°$??或??$36°.$??
