解：?$(2)BD^2+CD^2=2AD^2$?，
理由如下：連接?$CE$?，
由?$(1)$?得，?$△BAD≌△CAE$?，
∴?$BD=CE$?，?$∠ACE=∠B$?，
∴?$∠DCE=90°$?，
∴?$CE^2+CD^2=ED^2$?，
在?$Rt△ADE$?中，?$AD^2+AE^2=ED^2$?，又?$AD=AE$?，
∴?$BD^2+CD^2=2AD^2$?；
?$(3)$?如圖?$③$?，作?$AE⊥AD$?，使?$AE=AD$?，連接?$CE$?，?$DE$?，
∵?$∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD$?，
∴?$∠BAD=∠CAE$?，
在?$△BAD$?與?$△CAE$?中，
?$\begin {cases}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end {cases}$?
∴?$△BAD≌△CAE(\mathrm {SAS})$?，
∴?$BD=CE=12$?，
∵?$∠ADC=45°$?，?$∠EDA=45°$?，
∴?$∠EDC=90°$?，
∴?$DE^2=CE^2-CD^2=12^2-4^2=128$?，
∵?$∠DAE=90°$?，?$AD^2+AE^2=2AD^2=128$?，
∴?$AD=8.$?
