解：?$(1)MN=BM+NC$?，理由如下：
延長?$AC$?至?$E$?，使得?$CE=BM$?，連接?$DE$?，如圖?$1.$?
∵?$△BDC$?為等腰三角形，?$△ABC$?為等邊三角形，
∴?$BD=CD$?，?$∠DBC=∠DCB$?，
?$∠MBC=∠ACB=60°$?，
又∵?$BD=DC$?，且?$∠BDC=120°$?，
∴?$∠DBC=∠DCB=30°$?，
∴?$∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=90°$?，
∴?$∠MBD=∠ECD=90°$?，
在?$△MBD$?與?$△ECD$?中，
?$\begin {cases}{BD=CD}\\{∠MBD=∠ECD}\\{CE=BM}\end {cases}$?
∴?$△MBD≌△ECD(\mathrm {SAS})$?，
∴?$MD=DE$?，?$∠BDM=∠CDE$?，
∵?$∠MDN=60°$?，?$∠BDC=120°$?，
∴?$∠BDM+∠CDN=60°$?，
∴?$∠CDE+∠CDN=60°$?，即?$∠EDN=60°$?，
∴?$∠EDN=∠MDN$?，
在?$△DMN$?和?$△DEN$?中，
?$\begin {cases}{ND=ND}\\{∠EDN=∠MDN}\\{MD=ED}\end {cases}$?
∴?$△DMN≌△DEN(\mathrm {SAS})$?，
∴?$MN=EN=NC+CE=BM+NC$?；
?$(2)$?利用?$(1)$?中的結(jié)論得出：
?$△AMN$?的周長?$=AM+MN+AN$?
?$=(AM+BM)+(NC+AN)$?
?$=2+2=4$?；
?$(3)$?按要求作出圖形，如圖?$2$?，
?$(1)$?中結(jié)論不成立，應(yīng)為?$MN=NC-BM$?，
理由：在?$CA$?上截取?$CE=BM$?，
∵?$△ABC$?是正三角形，
∴?$∠ACB=∠ABC=60°$?，
又∵?$BD=CD$?，?$∠BDC=120°$?，
∴?$∠BCD=∠CBD=30°$?，
∴?$∠MBD=∠ECD=90°$?，
又∵?$CE=BM$?，?$BD=CD$?，
在?$△BMD$?和?$△CED$?中，
?$\begin {cases}{CE=BM}\\{∠MBD=∠ECD=90°}\\{BD=CD}\end {cases}$?
∴?$△BMD≌△CED(\mathrm {SAS})$?，
∴?$DE=DM$?，
在?$△MDN$?和?$△EDN$?中，
?$\begin {cases}{ND=ND}\\{∠EDN=∠MDN}\\{MD=ED}\end {cases}$?
∴?$△MDN≌△EDN(\mathrm {SAS})$?，
∴?$MN=NE=NC-CE=NC-BM.$?
