解：?$(1)$?當?$ 0 \leqslant x \leqslant 20 $?時，
?$y $?與?$ x $?的函數(shù)表達式是：?$ y=2 x$?；
當?$ x>20 $?時，
?$y $?與?$ x $?的函數(shù)表達式是：
?$y=2 ×20+2.6(x-20)=2.6 x-12 $?；
?$(2)$?因為小明家四、五月份的水費都不超過?$ 40 $?元，?$ $?故?$ 0 \leqslant x \leqslant 20 $?，
此時?$ y=2 x$?，?$ $?六月份的水費超過?$ 40 $?元，?$ x>20$?，?$ $?此時?$ y=2.6 x-12$?，
所以把?$ y=30 $?代入?$ y=2 x $?中得，
?$2 x=30$?，?$ x=15$?
把?$ y=34 $?代入?$ y=2 x $?中得，
?$2 x=34$?，?$ x=17$?
把?$ y=42.6 $?代入?$ y=2.6 x-12 $?中得，
?$2.6 x-12=42.6$?，?$ x=21.$?
?$15+17+21=53(\mathrm {m^3}).$?
故小明家這個季度共用水?$ 53\ \mathrm {m^3}$?
