解：?$(1)$?設(shè)點?$M$?，?$N$?運動?$x$?秒后，?$M$?，?$N$?兩點重合，
由題意得?$x+12=2x$?，
解得?$x=12.$?
∴點?$M$?，?$N$?運動?$12$?秒后?$M$?，?$N$?兩點重合?$.$?
?$(2)$?設(shè)?$M$?，?$N$?運動?$t $?秒后，可得到等邊?$△ANM.$?
則?$AM=t\mathrm {cm}$?，?$AN=AB-BN=(12-2t)\mathrm {cm}.$?
∵?$△AMN$?是等邊三角形，
∴?$t=12-2t$?，解得?$t=4$?，
∴點?$M$?，?$N$?運動?$4$?秒后，可得到等邊?$△AMN.$?
?$(3)$?由?$(1)$?知?$12$?秒時，即在定點?$C$?處點?$M$?，?$N$?重合，如圖所示，
假設(shè)?$△AMN$?是以?$MN$?為底邊的等腰三角形，即?$AM=AN$?，
∴?$∠AMN=∠ANM$?，
∴?$∠AMC=∠ANB.$?
∵?$AB=BC=AC$?，
∴?$△ABC$?為等邊三角形，
∴?$∠C=∠B$?，
在?$△ACM$?和?$△ABN$?中，
?$\begin {cases}{∠C=∠B}\\{∠AMC=∠ANB}\\{AC=AB}\end {cases}$?
∴?$△ACM≌△ABN$?，
∴?$CM=BN$?，
設(shè)點?$M$?，?$N$?同時在?$BC$?上，且運動?$y$?秒時，?$△AMN$?是等腰三角形，
∴?$CM=y-12$?，?$NB=36-2y$?，
由?$CM=NB$?得?$y-12=36-2y$?，解得?$y=16$?，
故假設(shè)成立，
∴點?$M$?，?$N$?同時在?$BC$?上運動時，能得到以?$MN$?為底的等腰
?$△AMN$?，此時運動時間為?$16$?秒?$.$?
