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解：(1)證明： $ \because \angle A B C=90^{\circ}$

$\therefore \angle C B D=180^{\circ}-\angle A B C=90^{\circ}$

$\therefore \angle A B E=\angle C B D$

在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle C B D$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}A B=C B \\ \angle A B E=\angle C B D \\ B E=B D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle C B D(S A S) ;$

$(2) \because \angle A B C=90^{\circ}, A B=C B$

$\therefore \angle A C B=\angle B A C=45^{\circ}$

$\because \angle C A E=30^{\circ}$

$\therefore \angle B E A=\angle C A E+\angle A C B=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}$

由(1)知 $\triangle A B E \cong \triangle C B D$

$\therefore \angle B D C=\angle B E A=75^{\circ} .$

解：(1) 證明 $\because C F \perp A B, B E \perp A C$

$\therefore \angle B F D=\angle C E D=90^{\circ}$

$\therefore \angle B D F+\angle A B D=\angle C D E+\angle P C A=90^{\circ}$

$\because \angle B D F=\angle C D E$

$\therefore \angle A B D=\angle P C A$

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle P C A$ 中

$\left\{\begin{array}{l}A B=C P \\ \angle A B D=\angle P C A \\ B D=A C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle P C A(\mathrm{SAS})$

$\therefore A P=A D$

(2) $A P \perp A D$, 理由如下:

$\because \triangle A B D \cong \triangle P C A$

$\therefore \angle B A D=\angle P$

$\because \angle A F P=90^{\circ}$

$\therefore \angle P+\angle P A F=90^{\circ}$

$\therefore \angle B A D+\angle P A F=90^{\circ}$, 即

$\angle P A D=90^{\circ}$

$\therefore A P \perp A D$

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