$解：(1)分兩種情況：$
$①當(dāng)0≤t≤ 2，點(diǎn)P在BC上時(shí)，如圖$
$14^2-\frac 12×4×t-\frac 12×(4-t)×2t-\frac 12×(4-2t)×4=11$
$解得， t_1=3(舍去)，t_2= -1(舍去)$
$②當(dāng)2<t≤4，點(diǎn)P在CD上時(shí)，如圖2$
$\frac 12×4× (8- 2t)= 11解得，t=\frac 54(舍去)$
$∴綜上所述，不存在符合條件的t值，使△PQD的面積為11\ \mathrm {cm}2$
?$(2)$?存在。
∵點(diǎn)?$P $?在?$BC$?上運(yùn)動(dòng)
∴?$0≤t≤2$?
∵?$△PQD$?是以?$PD$?為一腰的等腰三角形
∴?$PD=QD$?或?$PD=PQ$?
?$①PD=QD$?
?$(4-2t)^2+4^2=t^2+4^2$?
解得，?$t-1=\frac 43，$??$t-2=4($?舍去?$)$?
?$②PD=PQ$?
?$(4 -2t)^2+4^2=(2t)^2+(4-t)^2$?
解得，?$t-1=4\sqrt {2}-4，$?
?$t-2=-4\sqrt {2}-4($?舍去?$)$?
∴綜上所述，?$t=\frac 43$?或?$t=4\sqrt {2}-4$?
