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解：由折疊得?$AF=AD=BC=10\ \mathrm {cm}$?

在?$Rt△ABF $?中，?$AB=8\ \mathrm {cm}$?，?$AF=10\ \mathrm {cm}$?

∴?$BF^2=10^2-8^2=36$?

∴?$BF $?的長為?$6\ \mathrm {cm}$?

∴?$FC=BC-BF=10-6=4(\mathrm {cm})$?

設(shè)?$EC=x\mathrm {cm}$?，則?$EF=DE=(8-x)\mathrm {cm}$?

在?$Rt△EFC$?中，由勾股定理，得?$x^2+4^2=(8-x)^2$?

解得?$x=3$?

∴?$EC$?的長為?$3\ \mathrm {cm}.$?

解：將長方體展開成平面圖形如下圖?$1$?，?$2$?，?$3$?所示

在?$1$?中?$AB$?的長為：?$\sqrt {20^2+(10+5)^2}=\sqrt {625}=25$?

在?$2$?中?$AB$?的長為：?$\sqrt {10^2+(20+5)^2}=\sqrt {725}$?

在?$3$?中?$AB$?的長為：?$\sqrt {5^2+(20+10)^2}=\sqrt {925}$?

∵?$\sqrt {925}＞\sqrt {725}＞\sqrt {625}$?

∴螞蟻需要爬行的最短路徑是?$25$?厘米

解：?$ (1 ) $?圖?$①$?中，利用勾股定理得：?$ A B^2=A C^2+B C^2$?

∴?$3$?個正方形的面積關(guān)系為?$S_{C}=S_{A}+S_{B} $?

同理得：圖?$②$?中?$ 3 $?個半圓的面積關(guān)系為?$S_{C}=S_{A}+S_{B}$?

?$(2) $?通過這兩個圖形的探索，可以發(fā)現(xiàn)：

分別以直角三角形?$ABC $?三邊為一邊向外作相似圖形

其斜邊上圖形的面積等于另外兩直角邊上圖形面積的和

類似問題：寫出下圖中?$S_1$?，?$ S_2 $?，?$S_3$?這?$3$?個三角形的面積關(guān)系?$?$?

利用勾股定理得：?$ A B^2=A C^2+B C^2$?

∴圖中?$3$?個三角形的面積關(guān)系為?$S_1=S_2+S _3.$?

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