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$解：?(1)?四邊形?ABCD?的面積是$

$?5×5-\frac {1}{2}×1×5-\frac {1}{2}×1×4-\frac {1}{2}×1×2-\frac {1}{2}×2×4-1×1?$

$?=25-2.5-2-1-4-1=14.5?$

$?(2)∠BCD?是直角，理由如下：$

$連接?BD?$

$由勾股定理得：?BD^2=3^2+4^2=25?，?BC^2=2^2+4^2=20?，$

$?CD^2=1^2+2^2=5?$

$∴?BC^2+CD^2=BD^2?，即?∠BCD?是直角$

解?$ ∶ (1) $?∵?$a^2+b^2=c^2$?

觀察得到?$c=b+2$?

∴?$a^2+b^2=(b+2)^2$?

∴?$b=(\frac {a}{2})^2-1$?，?$c=b+2=(\frac {a}{2})^2+1$?

?$(2) $?當(dāng)?$ a=20 $?時(shí)，?$b=(\frac {20}2)^2-1=99$?，?$c=(\frac {20}2)^2+1=101$?

$已知：?△ABC?中，?BC=a?，?AC=b?，?AB=c?，?a^2+b^2=c^2?$

$求證：?△ABC?為直角三角形$

$證明如下：作一直角三角形? D E F?，?∠F=90°?，使其兩直角邊與三角形?ABC?$

$的兩條較短邊相等，即?EF=BC=a?，?DF=AC=b?$

$∵?Rt△DEF?，?∠F=90°?$

$∴?DE2=EF2+DF2=a2+b2=c2=AB2?$

$∴?DE=AB?$

$在?△DEF ?與?△ABC?中$

$?\begin {cases}{D E=A B}\\{D F=A C}\\{ E F=B C}\end {cases}?$

$∴?△DEF≌△ABC(\mathrm {SSS})?$

$∴?∠C=∠F=90°?$

$∴?△ABC?為直角三角形$

$解：?(1)CH?是從村莊?C?到河邊的最近路?.?理由如下：$

$∵?CB=1.5?千米，?CH=1.2?千米，?HB=0.9?千米$

$∴?CB^2=CH^2+HB^2?$

$∴?△ BCH?為直角三角形，?∠BHC=90°?$

$∴?CH⊥AB?$

$∴?CH?為?C?點(diǎn)到?AB?的最短路線$

$?(2)?設(shè)?AC=x\mathrm {km}?，則?AB=x\mathrm {km}?，?AH=(x-0.9)\mathrm {km}?，$

$在?Rt△ACH?中，?(x-0.9)^2+1.2^2=x^2?$

$解得?x=1.25?$

$即?AC=1.25\ \mathrm {km}?$

$∵?AC-CH=1.25-1.2=0.05(\mathrm {km})?$

$答：新路?CH?比原路?CA?少?0.05?千米?.?$

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