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解：?$(1)$?勾股定理：

直角三角形的兩條直角邊長分別為?$a$?、?$b$?，斜邊長為?$c$?

那么?$a^2+b^2=c^2$?

?$(2)$?圖?$1$?的面積為：?$S_{1}=\frac {1}{2}ab×3+a^2+b^2$?

圖?$2$?的面積為?$S_{2}=\frac {1}{2}ab×3+c^2$?

∵圖?$1$?、圖?$2$?的面積相等

∴?$\frac {1}{2}ab×3+a^2+b^2=\frac {1}{2}ab×3+c^2$?

∴?$a^2+b^2=c^2$?

解：?$(1)$?∵?$AC⊥BD$?，?$∠CAD=45°$?

∴?$AC=DC$?，?$∠ACB=∠DCE=90°$?

在?$Rt△ABC$?與?$Rt△DEC$?中

?$\begin {cases}{AC=DC}\\{AB=DE}\end {cases}$?

∴?$Rt△ABC≌Rt△DEC(\mathrm {HL})$?

∴?$∠BAC=∠EDC$?

∵?$∠EDC+∠CED=90°$?，?$∠CED=∠AEF$?

∴?$∠AEF+∠BAC=90°$?

∴?$∠AFE=90°$?

∴?$DF⊥AB$?

?$(2)$?∵?$S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE}$?

∴?$\frac {1}{2}a^2+\frac {1}{2}b^2=\frac {1}{2}·c·DF-\frac {1}{2}·c·EF=\frac {1}{2}·c·(DF-EF)=\frac {1}{2}·c·DE=\frac {1}{2}c^2$?

∴?$a^2+b^2=c^2.$?

解：?$A B=\sqrt {A C^2+B C^2}=5\ \mathrm {cm} $?

此時?$A B=D E $?、?$ A C=D F $?、?$ B C=E F$?

?$ $?故?$\triangle ABC≌ \triangle DEF(\mathrm {SSS})$?

∴?$∠DFE=∠ACB=90° $?

∴?$\triangle DEF $?是直角三角形

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