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解：連接?$BE$?

∵?$DE$?是?$BC$?邊上的垂直平分線

∴?$CE=BE$?

∵?$AB+AE+BE=14\ \mathrm {cm}$?，?$AC=AE+CE=8\ \mathrm {cm}$?

∴?$AB=14-8=6\ \mathrm {cm}$?

證明：如圖，連接?$BC$?

∵?$CD⊥AB$?于?$D$?，?$D$?是?$AB$?的中點(diǎn)，即?$CD$?垂直平分?$AB$?

∴?$AC=BC($?中垂線的性質(zhì)?$)$?

∵?$E$?為?$AC$?中點(diǎn)，?$BE⊥AC$?

∴?$BC=AB($?中垂線的性質(zhì)?$)$?

∴?$AC=AB$?

證明：連接?$CD$?

∵?$D E$?垂直平分?$BC$?

∴?$DC=DB$?

在?$△ADC$?中，?$A D+D C>A C$?

∴?$A D+B D>A C$?

∴?$A B>A C$?

解：AB垂直平分CD

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證明：?$(1)$?∵點(diǎn)?$P $?在邊?$AB$?的垂直平分線上

∴?$PA=PB$?

∵點(diǎn)?$P $?在邊?$BC$?的垂直平分線上

∴?$PB=PC$?

∴?$PA=PB=PC$?

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