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$ 解:連接OP$
$ 若BP與圓O相切,則OP⊥PB$
$ ∵AB=OA,OA=OP$
$ ∴OB=2OP,∠OPB= 90°$
$ ∴∠B= 30° $
$ ∴∠POB=60°$
$ ∵OA=3\ \mathrm {cm}$
$ \widehat{AP}=\frac {60×π×3}{180}=π\(zhòng) \mathrm {cm}$
$ ∵圓的周長為2×π×3=6π\(zhòng) \mathrm {cm}$
$ ∴當(dāng)t= 1s或5s 時,有BP 與圓O相切$
證明: $連接OE , DE$
$∵CD是圓O的直徑$
$∴∠AED =∠CED =90° $
$∵G是Rt△AED的斜邊中點$
$∴EG=\frac 12AD= DG$
$∴∠1 =∠2$
$∵OE= OD $
$∴∠3 =∠4$
$∴∠1+∠3 =∠2+∠4$
$∴∠OEG=∠ODG = 90°$
$故GE是圓O的切線$
$解:如圖所示,當(dāng)與PA相切時,切點記作點C,與PB的切點記作點D$
$∵圓O與PA相切,與PB相切$
$∴∠PCO=∠PDO=90°$
$∵OC=OD$
$∴OP是∠APB的角平分線$
$∴ ∠OPD=\frac 12∠APB=30°$
$∴OP=2OD=2$
$在Rt△POD中, PD=\sqrt{PO^2-OD^2}=\sqrt{3},$
$即圓心O移動的距離為 \sqrt{3}$
解:作∠ABC、∠ACB的角平分線,相交于點D,
則點D即為亭子應(yīng)修建的位置
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