$解：(1)連接PA$
$ ∵PO⊥AD $
$∴AO=DO$
$ ∵AD=2\sqrt{3} $
$ ∴OA=\sqrt{3}$
$ ∵點P的坐標(biāo)為(-1，0) $
$∴OP=1$
$∴PA=\sqrt{OP^2+OA^2}=2$
$∴BP=CP=2$
$∴B(-3，0)、C(1，0)$
$ (2)連接AP，延長AP交P于點M，連接MB、MC$
$如圖所示，線段MB'、MC'即為所求作$
$過點M作MH⊥BC，垂足為H$
$在△MHP 和△AOP 中$
$\begin{cases}∠MHP=∠AOP\\∠HPM =∠OPA\\MP=AP\end{cases}$
$∴△MHP≌△AOP(\mathrm {AAS})$
$ ∴MH=OA=\sqrt{3}，PH=PO=1$
$∴OH = 2$
$ ∴點M的坐標(biāo)為(-2，\sqrt{3})$
$(3)在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變$
$∵四邊形ACM B是矩形$
$∴∠BMC=90°$
$∵EG⊥BO$
$∴∠BGE = 90°$
$∴∠BMC=∠BGE=90°$
$∵點Q是BE的中點$
$∴QM=QE=QB=QG$
$∴點E、M、B、G在以點Q為圓心，QB為半徑的圓上，如圖所示$
$∴∠MQG = 2∠M BG$
$ ∵∠COA= 90°， OC= 1， OA=\sqrt{3}$
$∴AC=\sqrt{OC^2+OA^2}=2=2OC$
$∴∠OCA = 60°$
$∴∠MBC=∠BCA=60°$
$∴∠MQG = 120°$
$∴在旋轉(zhuǎn)過程中∠MQG的大小不變，始終等于120°$
