$ 解：(1)∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA，$
$ ∴△ACO是等邊三角形，$
$ ∴∠AOC=60°.$
$ (2)∵CP與⊙O相切，OC是半徑，$
$ ∴CP⊥OC.$
$ 又∵∠AOC=60°，$
$ ∴∠P=90°-∠AOC=30°，$
$ ∴在Rt△POC中，CO=\frac {1}{2}PO=4，$
$ 則PO=2CO=8.$
$ (3)如圖.$
$ ①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M_1，連接AM_1，OM_1，$
$ 易得{S}_{△{M}_1AO}=S_{△CAO}，∠AOM_1=60°，$
$ ∴弧AM_1=\frac {4π×60}{180}=\frac {4}{3}π，$
$ ∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M_1時(shí)，S_{△MAO}=S_{△CAO}，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為\frac {4}{3}π.$
$ ②過(guò)點(diǎn)M_1作M_1M_2∥AB交⊙O于點(diǎn)M_2，連接AM_2，OM_2，易得{S}_{△{M}_2AO}=S_{△CAO}，$
$ ∴∠AOM_1=∠M_1OM_2=∠BOM_2=60°，$
$ ∴弧AM_2=\frac {8}{3}π，$
$ ∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M_2時(shí)，S_{△MAO}=S_{△CAO}，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為\frac {8}{3}π.$
$ ③過(guò)點(diǎn)C作CM_3∥AB交⊙O于點(diǎn)M_3，連接AM_3，OM_3，易得{S}_{△{M}_3AO}=S_{△CAO}，$
$ ∴∠BOM_3=60°，$
$ ∴弧AM_3=\frac {16}{3}π，$
$ ∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M_3時(shí)，S_{△MAO}=S_{△CAO}，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為\frac {16}{3}π.$
$ ④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，S_{△MAO}=S_{△CAO}，$
$ 此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為\frac {4π×300}{180}=\frac {20}{3}π.$
