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$ 180°-\frac {360°}{n}$

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$ 解：如圖所示，當(dāng)EH=AB時，正六邊形自由旋轉(zhuǎn)且始終在正方形里，$

$ 此時正六邊形的邊長最大，$

$ 再當(dāng)EH與正方形對角線AC重合時，AE最小.$

$ 因為正方形ABCD的邊長為1，∠ABC=90°，$

$ 所以AC= \sqrt{2}.$

$ 因為EH=1，$

$ 所以AE=CH= \frac {\sqrt{2}-1}{2}，$

$ 所以當(dāng)正六邊形EFGHIJ的邊長最大時，AE的最小值為 \frac {\sqrt{2}-1}{2}.$

$(1)解：連接OA，OB，過點O作OM⊥AB，垂足為M，如圖所示：$

$∵點O是正方形ABCD外接圓圓心$

$∴OA=OB$

$∵四邊形ABCD是正方形$

$∴OM=\frac {1}{2}AB$

$∴S_{△ABO}=\frac {1}{4}S_{正方形ABCD}$

$∵∠AOB=90°$

$∴∠OAF=∠OBE=45°$

$又∵∠A′OC′=90°，∠AOF+∠A′OB=∠A′OB+∠BOE=90°，$

$∴∠AOF=∠BOE $

$∴△AOF≌△BOE$

$∴S_{△AOF}=S_{△BOE}$

$∴重疊部分面積$

$=S_{△BOF}+S_{△BOE}=S_{△BOF}+S_{△AOF}$

$=S_{△ABO}$

$=\frac {1}{4}S_{正方形ABCD}$

$∴S_{陰影}=\frac {3}{4}S_{正方形ABCD}$

$∴重疊部分面積與陰影部分面積之比為1：3 $

$(2)解：連接OA、OB、OC，設(shè)OA′與AB交于$

$點G，OE′與CD交于點H$

$由正六邊形的性質(zhì)可得∠AOA′=∠COE′，AO=OC，∠OAA′=∠OCE′$

$∴△AOG≌△COE′$

$∴S_{△AOG}=S_{△COE′}$

$∴重疊部分的面積=S△_{A′BCO}+S_{△OCE′}=S_{△A′BCO}+S_{△AOG}=S_{四邊形OABC}=\frac {1}{3}S_{六邊形ABCDEF}$

$∴S_{陰影}=\frac {2}{3}S_{六邊形ABCDEF}$

$∴重疊部分面積與陰影部分面積之比為1：2$

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