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$解：∵△P' AB≌△PAC$

$∴∠BAP'=∠CAP，AP'=AP=6，P'B=PC=10$

$∵△ABC是等邊三角形$

$∴∠BAC=∠CAP +∠PAB = 60°$

$∴∠P'AP=∠BAP'+∠PAB=60°$

$∴△P'AP 是等邊三角形$

$∴AP=AP'=P'P=6，∠APP'=60°$

$∴點P 與點P'之間的距離為6$

$∵P'P^2+PB^2=6^2 +8^2= 100，P'B^2=10^2=100，即 P'P^2+PB^2= P'B^2$

$∴∠P' PB = 90°$

$∴∠APB =∠P'PB+∠APP'=150°$

$解：三級臺階的平面展開圖如下：$

$三級臺階平面展開圖為長方形，長為20\ \mathrm {dm}，寬為( 2+3)×3=15\ \mathrm {dm} $

$則螞蟻沿臺階面爬行到B點的最短路程是此長方形的對角線$

$最短路程為 \sqrt{20^2+15^2}=25\ \mathrm {dm}$

$∴螞蟻沿臺階面爬行到B點的最短路程是25\ \mathrm {dm}$

$解：如圖，作CH⊥AB于H$

$由翻折的性質(zhì)可知：∠APC=∠QPC$

$∵PQ⊥PA$

$∴∠APQ=90°$

$∴∠APC=∠QPC=135°$

$∵∠QPB= 90°，∠BPC+∠QPB=135°$

$∴∠BPC=45°$

$∵CH⊥AB$

$∴CH=PH$

$在Rt△ABC中， AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$

∵ $\frac 12×AB×CH=\frac 12×AC×BC$

$∴CH=\frac {12}5，BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\frac 95$

∴ $PB=PH+BH=\frac {12}5+\frac 95=\frac {21}5$

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