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?$證明：(1)∵DE⊥AC$?
?$∴∠AED=∠CED=90°$?
?$在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2=80$?
?$在Rt△CDE中，CD2=DE2+CE2=20$?
?$∴AD2+CD2=80+20=100$?
?$∵AC=AE+EC=10，∴AC2=100$?
?$∴AD2+CD2=AC2$?
?$∴∠ADC=90°$?
?$ $?
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$解：連接AC$

$∵∠ADC=90°$
$在Rt△ADC中$
$AD2+CD2=AC2$
$∴AC2=AD2+CD2=42+32=25$
$∴AC=5在$
$△ACB中$
$∴AC2+BC2=52+122=169 ，\ $
$AB2=132=169 $
$∴AC2+BC2=AB2$
$∴△ACB是直角三角形$
$S=S_{△ACB}-S_{△ADC}$
$=\frac 12×5×12-\frac 12×3×4$
$=24 $
$解：(2)∵AD是ABC的中線，且AD⊥BC$
$∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上$
$∴AB=AC=10$
$∵DF為直角三角形ABD的斜邊中線$
$∴ DF=\frac 12AB=5 $
$解：設(shè)收購(gòu)站E應(yīng)建在距A站x\ \mathrm {km}處，$
$即AE=x\ \mathrm {km }，則BE= ( 25-x)\ \mathrm {km}$
$∵DA⊥ AB∴∠A=90°$
$在Rt△ADE中，由勾股定理得：$
$DA2+ AE2=DE2$
$∴DE2=DA2+AE2=152+x2=225+x2$
$∵BC⊥AB$
$∴∠B=90°$
$在Rt△BCE中，由勾股定理得：$
$CB2+BE2=CE2$
$∴CE2=CB2+BE2$
$=102+ ( 25-x ) 2=725+x2- 50x$
$∵要使C、D兩村莊到收購(gòu)站E的距離相等$
$∴CE=DE$
$∴CE2=DE2$
$∴725+x2- 50x=225+x2$
$x=10 $
$∴收購(gòu)站E應(yīng)建在距A站10\ \mathrm {km}處 $
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