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$ 解：(1)∠BDP=∠EPC$

$ 理由如下：∵△ABC為等邊三角形$

$ ∴∠B=60°$

$ ∵∠DPE= 60°$

$ ∴∠DPE=∠B$

$∵∠DPC是△BDP 的外角$

$ ∴∠DPE+ ∠EPC =∠B+ ∠BDP$

$ ∴∠EPC=∠BDP$

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$證明： ( 1 )∵△ABE和△ ACD都是等邊三角形$

$∴AE=AB， AC=AD ，∠EAB=∠CAD=60°$

$∴∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD$

$在△EAC和△ BAD中$

$\begin{cases}AE= AB\\∠EAC=∠BAD\\AC= AD\end{cases}$

$∴△EAC≌△BAD ( SAS )∴EC=BD$

$( 2 ) ∵△EAC≌△BAD∴∠ABD=∠AEC$

$∴∠BOC=∠EBO+∠BEO=∠EBA+∠ABD+∠AEB-∠AEC$

$=∠EBA+∠AEB=60° + 60°=120°$

$ $

$(1)解：△OAC≌△BAD$

$理由：∵∠AOB=60° ， OA=OB$

$∴△OAB為等邊三角形$

$∴AO=AB ，∠OAB=60°$

$∵△ACD為等邊三角形$

$∴AC=AD，∠CAD=60°$

$∴∠OAB=∠CAD$

$∴∠OAB-∠CAB=∠CAD-∠CAB\ $

$即∠OAC=∠BAD$

$在△OAC和△BAD中$

$\begin{cases}AO= AB\\∠OAC=∠BAD\\AC= AD\end{cases}$

$∴△OAC≌△BAD ( SAS ) $

$( 2)證明： ∵△OAC≌△BAD$

$∴∠AOB=∠ABD=60°$

$∴∠OAB=∠ABD$

$∴BD//OA $

$解：(2)∵△PDE為正三角形$

$∴PD=PE$

$在△BDP 和△CPE中$

$\begin{cases}∠B=∠C\\∠BDP=∠CPE\\PD= EP\end{cases}$

$∴△BDP≌△CPE (\mathrm {AAS})$

$∴BD= CP，BP= CE$

$∴BD+ CE= CP+ BP= BC= 8 $

$證明：(3)過A點(diǎn)作AM⊥EC，AN⊥BD ，$

$垂足分別為M， N$

$∵△EAC≌△ BAD$

$∴EC=BD， S_{△AEC}=S_{△BAD}$

$∴ \frac 12×EC×AM=\frac 12×BD×AN$

$∴AM=AN$

$又∵AM⊥EC ， AN⊥BD$

$∴AO平分∠DOE $

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