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電子課本網(wǎng) 第24頁

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$\frac{5}{4} $
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$證明:如答圖①,取AC的中點F,連接EF$
$則AF= \frac{1}{2}AC$
$∵Rt△ABC中,∠ACB=30°$
$∴AB=\frac{1}{2}AC,∠BAC=60°,∴AB=AF\ $
$∵△ADE是等邊三角形,∴∠DAE=60°,AD=AE\ $
$∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°\ $
$∴∠BAD=∠FAE$
$在△ABD和△AFE中$
${{\begin{cases} {{AB=AF}} \\ {∠BAD=∠FAE} \\ {AD=AE} \end{cases}}}$
$∴△ABD≌△AFE(SAS),∴∠AFE=∠B=90°$
$∴EF垂直平分AC,∴AE=CE,∴DE=CE $
解:DE=CE
$解:如答圖②$
$當(dāng)點D與點B重合時,點E在點E'處,$
$此時E'是AC的中點\ $
$當(dāng)點D與點C重合時,點E在點E''處,$
$此時△ACE''是等邊三角形,由(1)得AE''=CE\ $
$∴點E始終落在線段AC的垂直平分線上\ $
$∴E'E''垂直平分AC$
$∴點E的運動路徑是從AC的中點E',$
$沿著AC的垂直平分線運動到點E''\ $
$在Rt△E'AE''和Rt△BAC中$
${{\begin{cases} {{AE''=AC}} \\ {AE'=AB} \end{cases}}}$
$∴Rt△E'AE''≌Rt△BAC(HL),∴E'E''=BC=\sqrt {3}$
$∴點E的運動路徑長為 \sqrt{3} $