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180°-α

$證明:(1)∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB$

$∵銳角△ABC的兩條高BD,CE相交于點O,∴∠BEC=∠CDB=90°$

$∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°$

$∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠CBD$

$∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形$

$(2)（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）$

（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）

$解:點O在∠BAC的平分線上,理由:$

$連接AO$

$在△AOB和△AOC中$

$\begin{cases}{ AB=AC }\ \\ { OB=OC } \\{ OA=OA} \end{cases}\ $

$∴△AOB≌△AOC(SSS),∴∠BAO=∠CAO$

$∴點O在∠BAC的平分線上 $

$解:作DE⊥OB，交OB的延長線于點E\ $

$∵OD平分∠BOC,DF⊥OC$

$點D在BC的垂直平分線上$

$∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°,DB=DC$

$在Rt△DEB和Rt△DFC中$

$\begin{cases}{ DB=DC }\ \\ { DE=DF } \end{cases}$

$∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)$

$∴∠BDE=∠CDF$

$∴∠BDE+∠BDF=∠CDF+∠BDF$

$即∠EDF=∠BDC\ $

$∵∠OED=∠OFD=90°,∠BOC=60°$

$∴∠EDF=120°,∴∠BDC=120° $

$解:由(1)可知,△DEB≌△DFC,則BE=CF\ $

$∵OB+OC=OB+OF+FC$

$∴OB+OC=OB+OF+EB=(OB+EB)+OF=OE+OF\ $

$在Rt△DEO和Rt△DFO中$

${{\begin{cases} {{DO=DO}} \\ {DE=DF} \end{cases}}}$

$∴Rt△DEO≌Rt△DFO(HL)$

$∴OE=OF,∴OB+OC=2OF $

$解:結(jié)論:△ABC是直角三角形,理由:$

$∵△ABC為“唯美三角形”,BD為AC邊的“唯美線”$

$∴DB=DC=DA, ∴∠DBC=∠C,∠DBA=∠A\ $

$∵∠A+∠ABC+∠C=180°\ $

$∴2∠ABD+2∠DBC=180°, ∴∠ABD+∠DBC=90°\ $

$∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形 $

$解:①過點A作AH⊥EC交EC的延長線于點H$

$AT⊥BE于點T，如答圖①$

$∵△ABC和△EBC均為“唯美三角形”$

$且AD和ED分別為這兩個三角形BC邊的“唯美線”$

$∴DA=DB=DC=DE,△ABC,△BEC都是直角三角形$

$∴∠BAC=∠BEC=90°\ $

$∵AH⊥EH,AT⊥BE,∴∠ATE=∠H=∠TEH=90°$

$∴四邊形ATEH是矩形,∴∠TAH=∠BAC=90°\ $

$∴∠BAT=∠CAH$

$在△ATB和△AHC中$

${{\begin{cases} {{∠ATB=∠AHC}} \\ {∠BAT=∠CAH} \\ {AB=AC} \end{cases}}} $

$∴△ATB≌△AHC(AAS)\ $

$∴AT=AH\ $

$∵AH⊥EH,AT⊥BE,∴EA平分∠BEC\ $

$∴∠AEB=\frac{1}{2}∠BEC=45°$

$②當點E在BC的下方時，如答圖①$

$∵四邊形ATEH是矩形，AT=AH$

$∴四邊形ATEH是正方形，∴ET=EH\ $

$∵△ATB≌△AHC,∴BT=CH\ $

$∴EB+EC=ET+BT+EH-CH=2ET=12,\ $

$∴ET=6,∴AT=6,即點A到BE的距離為6$

$當點E在BC的上方時，如答圖②$

$過點A作AH⊥EC 交EC的反向延長線于點H,$

$AT⊥BE于點T$

$同理可證△ABT≌△ACH,四邊形ATEH是正方形$

$∴BT=CH,AT=ET=AH=EH$

$∴BE-CE=BT+TE-(CH-EH)$

$=2AT=9-3=6$

$∴AT=3,即點A到BE的距離為3\ $

$綜上所述，點A到BE的距離為6或3 $

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