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電子課本網(wǎng) 第65頁(yè)

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$證明:∵△ABC是等邊三角形\ $
$∴∠ABC=∠ACB=60°,AC=BC$
$∵D是AB的中點(diǎn)$
$∴∠CDB=90°,∠DCB=\frac{1}{2}∠ACB=30°\ $
$∵DC=DE,∴∠E=∠DCB=30°$
$∵∠EDB=∠ABC-∠E=30°\ $
$∴∠EDB=∠E=30°,∴BE=BD$
$∵BD=AD,∴BE=AD $
$解:BE=AD還成立,理由:$
$過(guò)點(diǎn)D作DF//CB,交AC于點(diǎn)F$
$∵△ABC是等邊三角形\ $
$∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°$
$∴∠ABE=180°-∠ABC=120°\ $
$∵DF//BC,∴∠ADF=∠ABC=60°$
$∠AFD=∠ACB=60°$
$∴∠CFD=180°-∠AFD=120°$
$∴∠ABE=∠CFD=120°\ $
$∵∠A=∠ADF=∠AFD=60°$
$∴△ADF是等邊三角形,∴AD=DF\ $
$∵DE=DC,∴∠E=∠DCE\ $
$∵DF//BC,∴∠DCB=∠FDC,∴∠E=∠FDC$
$\ 在△DBE和△CFD中$
${{\begin{cases} {{∠DBE=∠CFD}} \\ {∠E=∠CDF} \\ {DE=CD} \end{cases}}} $
$∴△DBE≌△CFD(AAS),∴BE=DF,∴BE=AD$
$解:△DEF是等邊三角形,證明如下:$
$∵△ABC是等邊三角形\ $
$∴∠A=∠B=∠C,AB=BC=CA$
$又∵AD=BE=CF,∴DB=EC=FA\ $
$∴△ADF≌△BED≌△CFE, ∴DF=DE=EF$
$即△DEF是等邊三角形 $
$解:AD=BE=CF成立,證明如下:\ $
$∵△DEF是等邊三角形\ $
$∴DE=EF=FD,∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°\ $
$∴∠1+∠2=120°,又∵△ABC是等邊三角形\ $
$∴∠A=∠B=∠C=60°,∴∠2+∠3=120°$
$∴∠1=∠3,同理∠3=∠4\ $
$∴△ADF≌△BED≌△CFE,∴AD=BE=CF $
$證明:如答圖①,在CA上截取CM=CD,連接DM\ $
$∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°$
$∴△CDM是等邊三角形\ $
$∴MD=CD=CM,∠CMD=CDM=60°\ $
$∴∠AMD=120°$
$∵∠ADE=60°,∴∠ADE=∠MDC$
$∴∠ADM=∠EDC$
$∵DE與△ACB的外角平分線交于點(diǎn)E\ $
$∴∠ACE=60°,∴∠DCE=120°=∠AMD\ $
$在△ADM和△EDC中$
$\begin{cases}{ ∠ADM=∠EDC }\ \\ { MD=CD } \\{∠AMD=∠ECD } \end{cases}$
$∴△ADM≌△EDC(ASA)\ $
$∴AM=CE,∴CA=CM+AM=CD+CE $
$解:CA=CE-CD,證明如下:\ $
$如答圖②,在AC的延長(zhǎng)線上截取CM=CD$
$連接DM$
$∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°\ $
$∴∠DCM=60°,∴△CDM是等邊三角形\ $
$∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°$
$∵DE與△ACB的外角平分線交于點(diǎn)E\ $
$∴∠ACE=∠DCE=60°,∴∠ECD=∠AMD\ $
$∵∠ADE=60°,∴∠ADE=∠CDM\ $
$∴∠ADM=∠EDC$
$在△ADM和△EDC中$
$\begin{cases}{ ∠ADM=∠EDC }\ \\ { MD=CD } \\{ ∠AMD=∠ECD} \end{cases}$
$∴△ADM≌△EDC(ASA),∴AM=EC$
$∴CA=AM-CM=CE-CD $