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$證明:∵AE//DF,∴∠A=∠D$

$∵AB=CD,∴AC=DB$

$在△AEC和△DFB中$

$\begin{cases}{ AE=DF }\ \\ { ∠A=∠D } \\{ AC=DB} \end{cases}$

$∴△AEC≌△DFB(SAS)$

$解:在△AEC中，以AC為底作高EH\ $

$∴S_{△AEC}=\frac{1}{2}EH×AC$

$S_{△BCE}=\frac{1}{2}EH×BC\ $

$∵AB=CD=\frac{1}{3}BC,∴AC=\frac{4}{3}BC\ $

$又S_{△AEC}=6,∴S_{△BEC}=\frac{3}{4}S_{△AEC}=4.5\ $

$∵△AEC≌△DFB∴∠ACE=∠DBF,EC=FB$

$在△BEC和△CFB中$

$\begin{cases}{ EC=FB }\ \\ { ∠BCE=∠CBF } \\{ BC=CB} \end{cases}$

$∴△BEC≌△CFB(SAS)$

$∴S_{△BEC}=S_{△CFB}$

$∴S_{四邊形BECF}=2S_{△BEC}=9 $

$證明:∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形\ $

$∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°$

$∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$

$即∠BAD=∠CAE$

$在△BAD和△CAE中$

$\begin{cases}{ AB=AC }\ \\ { ∠BAD=∠CAE } \\{ AD=AE} \end{cases}$

$∴△BAD≌△CAE(SAS) $

$解:BF⊥CE,理由如下: $

$∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE\ $

$∴∠DBC+∠BCF=∠DBC+∠ACB+∠ABD$

$\ 45°+45°=90°$

$∴∠BFC=90°，∴BF⊥CE $

$證明:∵∠ABC=90°,D為AB的延長線上一點(diǎn)\ $

$∴∠ABE=∠CBD=90°$

$在△ABE和△CBD中$

$\begin{cases}{ AB=CB }\ \\ { ∠ABE=∠CBD } \\{ BE=BD} \end{cases}$

$∴△ABE≌△CBD(SAS)$

$解:∵AB=CB,∠ABC=90°,∴∠CAB=45°$

$又∵∠CAE=30°，∴∠BAE=15°$

$由(1)知△ABE≌△CBD,∴∠BCD=∠BAE=15°\ $

$∴∠BDC=90°-15°=75°$

$又∵BE=BD,∠DBE=90°$

$∴∠BDE=45°, ∴∠EDC=75°-45°=30° $

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