解：?$(1)$?設(shè)拋物線的解析式為?$y=ax(x-10)$?
∵當(dāng)?$t=2$?時，?$BC=4$?
∴點?$C$?的坐標(biāo)為?$(2$?，?$-4)$?
將點?$C$?的坐標(biāo)代入解析式得?$2a(2-10)=-4$?
解得?$a=\frac {1}{4}$?
∴拋物線的表達式為?$y=\frac 14x^2-\frac 52x$?
?$(2)$?由拋物線的對稱性得?$AE=OB=t$?
∴?$AB=10-2t$?
當(dāng)?$x=t $?時，點?$C$?的縱坐標(biāo)為?$\frac 14t^2-\frac 52t$?
∴矩形?$ABCD$?的周長?$=2(AB+BC)$?
?$=2[(10-2t)+(-\frac {1}{4}t2+\frac 52t)]$?
?$=-\frac 12t^2+t+20$?
?$=-\frac {1}{2}(t-1)2+\frac {41}{2}$?
∵?$-\frac {1}{2}＜0$?，?$0＜t＜5$?
∴當(dāng)?$t=1$?時，矩形?$ABCD$?的周長有最大值，
最大值為?$\frac {41}{2}$?
?$(3)$?連接?$AC$?，?$BD$?相交于點?$P$?，連接?$OC$?
取?$OC $?的中點?$Q$?，連接?$PQ$?
∵?$t=2$?
∴?$B(2$?，?$0)$?，?$A(8$?，?$0)$?
∵?$BC=4$?，∴?$C(2$?，?$-4)$?
∵直線?$GH$?平分矩形?$ABCD$?的面積
∴直線?$GH$?過點?$P$?
∵四邊形?$ABCD$?是矩形
∴點?$P $?是?$AC$?的中點
∵?$Q $?為?$OC$?的中點
∴?$PQ=\frac {1}{2}OA$?
由平移的性質(zhì)可知，四邊形?$OCHG $?是平行四邊形
∴?$PQ=CH$?
∵?$OA=8$?
∴?$CH=PQ=\frac {1}{2}OA=4$?
∴拋物線向右平移的距離是?$4$?個單位
