解：?$(1)$?∵拋物線的頂點橫坐標為?$1$?
∴拋物線的對稱軸為直線?$x=1$?
∵點?$A$?的坐標為?$(-1$?，?$0)$?
∴拋物線與?$x$?軸的另一交點坐標為?$(3$?，?$0)$?
將?$(-1$?，?$0)$?，?$(3$?，?$0)$?，?$(0$?，?$3)$?代入?$ y=ax2+bx+c $?
得?$\begin {cases}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end {cases}$?，解得?$\begin {cases}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end {cases}$?
∴拋物線的表達式為?$y=-x2+2x+3$?
?$(2)$?∵直線?$x=m $?與?$x$?軸交于點?$N$?，
在第一象限內與拋物線交于點?$M$?
∴點?$M$?的坐標為?$(m$?，?$-m2+2m+3)$?，
點?$N$?的坐標為?$(m$?，?$0)$?
∴?$MN=-m2+2m+3$?，?$AN=m+1$?
∴?$AN+MN=m+1+(-m2+2m+3)$?
?$=-m2+3m+4=-(m-\frac 32)^2+\frac {25}{4}$?
∵?$-1＜0$?，且?$0＜m＜3$?
∴當?$m=\frac {3}{2}$?時，?$AN+MN$?有最大值，最大值為?$\frac {25}{4}$?
?$(3)$?能構成平行四邊形
∵?$y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4$?
∴拋物線向左平移?$1$?個單位長度后所得
拋物線的表達式為?$y=-x2+4$?
當?$x=\frac 32$?時，?$y=-x2+2x+3$?
?$=-(\frac {3}{2})^2+2×\frac {3}{2}+3=\frac {15}{4}$?
∴點?$M$?的坐標為?$(\frac {3}{2}$?，?$\frac {15}{4})$?
假設存在以?$A$?，?$P$?，?$Q$?，?$M$?為頂點的平行四邊形，
設點?$P $?的坐標為?$(1$?，?$P)$?，點?$Q $?的坐標為?$(n$?，?$-n2+4)$?
?$ ①$?當?$AM$?為對角線時，對角線?$AM$?，?$PQ $?互相平分
∴?$\frac {-1+\frac 32}2=\frac {1+n}{2}$?，解得?$n=-\frac {1}{2}$?
∴點?$Q $?的坐標為?$(-\frac {1}{2}$?，?$ \frac {15}{4})$?
?$②$?當?$AP $?為對角線時，對角線?$AP$?，?$MQ $?互相平分
∴?$\frac {-1+1}{2}=\frac {\frac 32+n}{2}$?，解得?$n=-\frac {3}{2}$?
∴點?$Q $?的坐標為?$(-\frac {3}{2}$?，?$\frac {7}{4}) $?
?$③$?當?$AQ $?為對角線時，對角線?$AQ$?，?$PM$?互相平分
∴?$\frac {-1+n}{2}=\frac {1+\frac 32}{2}$?，解得?$n=\frac {7}{2}$?
∴點?$Q $?的坐標為?$(\frac {7}{2}$?，?$-\frac {33}{4}) $?
綜上所述，存在以?$A$?，?$P$?，?$Q$?，?$M$?為頂點的
平行四邊形，點?$Q $?的坐標為?$(-\frac {1}{2}$?，?$\frac {15}{4})$?
或?$(-\frac {3}{2}$?，?$\frac {7}{4})$?或?$(\frac {7}{2}$?，?$-\frac {33}{4})$?
