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證明：?$(1)$?把?$△ABE$?繞?$B$?點順時針旋轉?$120°$?得到
?$△CBH$?，易知?$H$?，?$C$?，?$F $?三點在同一直線上
由旋轉的性質得?$BH=BE$?，?$∠CBH=∠ABE$?
∵?$∠ABC=120°$?，?$∠MBN=60°$?
∴?$∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠MBN=60°$?
∴?$∠CBH+∠CBF=60°$?，即?$∠HBF=60°$?
∴?$∠HBF=∠EBF=60°$?
在?$△HBF $?和?$△EBF $?中
?$\begin {cases}{BH=BE}\\{∠HBF=∠EBF}\\{BF=BF}\end {cases}$?
∴?$△HBF≌△EBF(\mathrm {SAS})$?
∴?$HF=EF$?
∵?$HF=CH+CF=AE+CF$?
∴?$AE+CF=EF$?
?$(2)$?不成立，?$EF=AE-CF$?
證明：?$(1)$?∵將?$△BOC$?繞點?$C$?順時針
旋轉?$60° $?得到?$△ADC$?
∴?$CO=CD$?，?$∠OCD=60°$?
∴?$△COD$?是等邊三角形
?$(2)$?∵將?$△BOC$?繞點?$C$?順時針旋轉?$60°$?得到?$△ADC$?
∴?$△BOC≌△ADC$?
∴?$∠ADC=∠BOC=150°$?，?$AD=OB=4$?
又∵?$△COD$?是等邊三角形
∴?$∠ODC=60°$?，?$OD=OC=3$?
∴?$∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°$?
∴?$OA=\sqrt {AD^2+OD^2}=5$?


解：?$(1)$?∵線段?$BO$?繞點?$B$?逆時針旋轉?$60°$?
得到線段?$BO'$?
∴?$BO=BO'$?，?$∠O'BO=60°$?
∴?$△OBO'$?是等邊三角形
∴?$OO'=OB=4$?
?$(2)$?連接?$O'A$?
∵?$△ABC$?是等邊三角形
∴?$AB= CB$?，?$∠ABC=60°$?
∵?$∠OBO'=∠ABC=60°$?
∴?$∠O'BA=∠OBO'-∠ABO$?
?$=∠ABC-∠ABO=∠OBC$?
在?$△BO'A$?和?$△BOC$?中
?$BA=BC$?
?$∠O'BA=∠OBC$?
?$BO'=BO$?
∴?$△BO'A≌△BOC(\mathrm {SAS})$?
∴?$O'A=OC=5$?
∵?$AO2+O'O2=9+16=25=O'A2$?
∴?$△AOO'$?是直角三角形
∴?$∠AOB=∠AOO'+∠O'OB=150°$?
?$(3)$?過點?$B$?作?$AO$?的垂線，交?$AO$?的延長線于?$ H$?
∵?$∠AOB=150°$?，∴?$∠BOH=30°$?
∴?$BH=\frac {1}{2}BO=2$?
∴?$S_{△ABO}=\frac {1}{2}AO · BH=\frac {1}{2}×3×2=3$?
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