解：?$(1)$?小明的說法正確，理由如下：
∵?$y=-\frac {1}{4}(x-2m)2+3-4m$?
∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為?$(2m$?，?$3-4m)$?
∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線
?$y=-2x+3$?上運(yùn)?$ $?動(dòng)，故小明的說法正確
?$(2)$?證明：∵點(diǎn)?$P(a-5$?，?$c)$?，?$Q(4m+3+a$?，?$c)$?
都在該二次函數(shù)的圖象上
∴對稱軸為直線?$x=\frac {a-5+4m+3+a}{2}$?
∴?$\frac {a-5+4m+3+a}{2}=2m$?
∴?$2a-2=0$?，∴?$a=1$?
∴?$P(-4$?，?$c)$?
∴?$c=-\frac {1}{4}(-4-2m)2+3-4m=-(m+4)2+15$?
∴?$c≤15$?
