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$ 解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)移動(dòng)x厘米時(shí)，?PQCR的面積等于7\ \mathrm {cm^2}，依題意有$

$ \frac {1}{2}×8^2-\frac {1}{2}x^2-\frac {1}{2}(8-x)^2=7，$

$ 解得：x_1=1，x_2=7$

$1÷2=0.5(s)，7÷2=3.5(s)$

$ 答：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)0.5s或3.5s時(shí)，?PQCR的面積等于7\ \mathrm {cm^2}．$

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$ 解：(1) 當(dāng) t=4 時(shí)， l=\frac {1}{2}\ \mathrm {t}^2+\frac {3}{2}\ \mathrm {t}=8+6=14， $

$ \therefore 甲運(yùn)動(dòng) 4\ \mathrm {s}后的路程是 14\ \mathrm {cm} $

$ (2) 由圖可知，甲、乙第一次相遇時(shí)走過的路程為半圓周，即 21\ \mathrm {cm}，$

$ 甲走過的路程為 (\frac {1}{2}\ \mathrm {t}^2+\frac {3}{2}\ \mathrm {t})\ \mathrm {cm}， $

$ 乙走過的路程為 4\ \mathrm {t}\ \mathrm {cm}， $

$ 則 \frac {1}{2}\ \mathrm {t}^2+\frac {3}{2}\ \mathrm {t}+4\ \mathrm {t}= 21 ， $

$ 解得 t=3 或 t=-14 (不合題意，舍去). $

$ \therefore 甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了 3\ \mathrm {s}$

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$解：(2)由題意得：$

$\frac {1}{2}×8^2-\frac {1}{2}x^2-\frac {1}{2}(8-x)^2=16$

$解得：x_1=x_2=4，$

$4÷2=2(s)$

$\frac {1}{2}×8^2-\frac {1}{2}x^2-\frac {1}{2}(8-x)^2=20，$

$此方程無解．$

$所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)2s時(shí)，$

$?PQCR的面積等于16\ \mathrm {cm^2}． $

$不存在點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離?PQCR的面積等于20\ \mathrm {cm^2}。 $

$解：(1) 設(shè)經(jīng)過 t s，點(diǎn) P 、 Q 之間的距離為 5\ \mathrm {cm}.$

$過點(diǎn) Q 作 Q E \perp A B 于點(diǎn) E，過點(diǎn) A 作 A F \perp C D 于點(diǎn) F.$

$\because A B=C F=6\ \mathrm {cm}， C D=10\ \mathrm {cm}，$

$\therefore D F=4\ \mathrm {cm}.$

$在 Rt \triangle A D F 中，$

$\ A F=\sqrt{A D^2-D F^2}=3\ \mathrm {cm}，$

$\therefore Q E=A F=3\ \mathrm {cm} .$

$\because A P=2\ \mathrm {t}\ \mathrm {cm}， C Q=t\ \mathrm {cm}，$

$\therefore P E=(6-3\ \mathrm {t})\ \mathrm {cm}.$

$在 Rt \triangle P E Q 中，$

$\because P E^2+E Q^2=P Q^2，$

$\therefore(6-3\ \mathrm {t})^2+3^2=5^2，$

$解得 t=\frac {2}{3} 或 t=\frac {10}{3} .$

$\because 0 \leqslant t \leqslant 3，$

$\therefore t=\frac {10}{3} 舍去.$

$\therefore 經(jīng)過 \frac {2}{3}\ \mathrm {s}，\ $

$點(diǎn) P 、 Q 之間的距離為 5\ \mathrm {cm}. $

$解：(2)不存在理由：$

$假設(shè)存在某一時(shí)刻，使得 P D 恰好平分 \angle A P Q，\ $

$則 \angle A P D=\angle D P Q .$

$\because A B / / C D，$

$\therefore \angle A P D=\angle P D Q .$

$\therefore \angle P D Q=\angle D P Q .$

$\therefore D Q= PQ.$

$\because P Q^2=3^2+(6-3\ \mathrm {t})^2，\ $

$D Q^2=(10-t)^2，$

$\therefore 3^2+(6-3\ \mathrm {t})^2=(10-t)^2，$

$解得 t_1=1+\frac {3 \sqrt{14}}{4}， t_2=1-\frac {3 \sqrt{14}}{4}，$

$\because 0＜t＜3$

$\therefore 兩解均舍去.$

$\therefore 不存在某一時(shí)刻，使得恰好平分 \angle A P Q$

$解：(3) 由圖可知，\ $

$甲、乙第二次相遇時(shí)走過的路程為三個(gè)半圓周，\ $

$即3×21=63(\ \mathrm {cm})， $

$則 \frac {1}{2}\ \mathrm {t}^2+\frac {3}{2}\ \mathrm {t}+4\ \mathrm {t}=63，$

$解得 t=7 或 t=-18 (不合題意，舍去).$

$\therefore 甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它$

$們運(yùn)動(dòng)了 7\ \mathrm {s}。 $

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