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解：∵?$2^{2023}-2^{2022}=2^{2022}×(2-1)=2^{2022}$?，?$2^{2022}-2^{2021}=2^{2021}×(2-1)=2^{2021}···$?

∴?$2^{n+1}-2^n=2^n×(2-1)=2^n$?

∴原式?$=2^{2023}-2^{2022}-···-2^3-2^2+2$?

?$=2^{2022}-2021-···-2^3-2^2+2$?

?$=2^{2021}-2^{2020}-···-2^3-2^2+2$?

······

?$ =2^2+2$?

?$=6$?

55

?$\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$?

解：?$(3)51^2+52^2+···+99^2+100^2$?

?$ =(1^2+2^2+···+99^2+100^2)-(1^2+2^2+···+49^2+50^2)$?

?$=\frac {100×101×201}{6}-\frac {50×51×101}6$?

?$=338350-42925=295425$?

解：?$(1)$?設(shè)?$S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{100}$?

將等式兩邊同時乘?$2$?，得?$ 2S=2+2^2+2^3+2^4+···+2^{101}$?

將下式減去上式，得?$ 2S-S=2^{101}-1$?

即?$S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{100}=2^{101}-1$?

?$(2)$?設(shè)?$S=1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^n$?

將等式兩邊同時乘?$3$?，得?$ 3S=3+3^2+3^3+3^4+···+3^{n+1}$?

將下式減去上式，得?$ 3S-S=3^{n+1}-1$?，即?$2S=3^{n+1}-1$?

故?$S=1+3+3^2+3^3+3^4+···+3^n=\frac {3^{n+1}-1}{2}$?

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