解:(1)如圖所示,連接OA.
因為AB切圓O于點A，
所以∠OAB=90°
在Rt△OAB中, AB= $3\sqrt{3}$,
設OA=R ,則OB=2R ,
由勾股定理,得(2R)2= R2 + ( $3\sqrt{3}$)2,
解得: R=3.
故圓O的半徑為3.
(2)因為△OAB是直角三角形,且OB=2OA ,
所以∠B=30°.
所以∠AOB= 60°
所以∠ACB= $\frac{1}{2}$∠AOB=30°.
(3) $S陰影=S△OAB-S扇形OAD $.
= $\frac{1}{2}AB×OA-\frac{1}{6}S圓$
= $\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3-\frac{1}{6}×π×32$
= $\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}π$
