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$解：(1)因?yàn)镺C平分∠AOD，$

$所以∠COD=∠AOC=\frac{1}{2}∠AOD\ $

$因?yàn)?∠COD=60°，$

$所以∠AOC=60°，$

$所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°.$

$解：(2)設(shè)∠AOD=x，$

$則∠BOC=\frac{1}{14}x，$

$因?yàn)椤螦OD=∠AOB+∠BOD, ∠BOD=∠COD-∠BOC,$

$所以∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC.$

$因?yàn)椤螦OB=90°，∠COD=60°，$

$所以∠AOD=150°-∠BOC,$

$所以x=150°-\frac1 {14}x，解得x=140°，$

$所以∠AOD的度數(shù)為140°$

$解：(3)當(dāng)射線(xiàn)OP與射線(xiàn)QQ未相遇之前，如圖①，$

$由題意得∠AOQ=9t°，∠BOP=12t°，$

$所以∠AOP=90°-∠BOP=(90-12t)°，$

$∠QOP=90°-∠AOQ-∠BOP=(90-21t)°.$

$因?yàn)椤螿OP=\frac{1}{2}∠AOP，$

$所以90-21t=\frac12(90-12t)，解得t=3$

$② 當(dāng)射線(xiàn)OP與射線(xiàn)QQ相遇后且均在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖②,\ $

$由題意得∠AOQ=9t°，∠BOP=12t°，$

$所以∠AOP=90°-∠BOP=(90-12t)°，∠QOP=∠BOP-∠BOQ=∠BOP-(90°-∠AOQ)=(21t-90)°.$

$因?yàn)椤螿OP=\frac{1}{2}∠AOP，$

$所以21t-90=\frac{1}{2}(90-12t)，$

$解得t=5.$

$綜上所述，當(dāng)∠QOP=\frac{1}{2}∠AOP時(shí)，t=3或5.$

$解：(2)因?yàn)樯渚€(xiàn)OA以每秒8°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)將 ∠COD以每秒6°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，$

$所以∠AOD=180°-78°+6t°-8t°=102°-2t°.$

$因?yàn)樯渚€(xiàn)OM平分∠AOD，$

$所以∠DOM=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}(102°-2t°).$

$因?yàn)?∠BOD=78°-6t°，$

$所以 \frac{1}{2}(102°-2t°)=78°-6t°，$

$所以t=5.4$

$解：(3)存在某一時(shí)刻使得∠MON=42°，分以下幾種情況:$

$情況一:若 ON在OB上方,此時(shí)∠DOM+∠DON=42°，即\frac{1}{2}(102°-2t°)+\frac{1}{2}(78°-6t°)=42°，解得t=12；$

$情況二:若 ON在 OB下方，此時(shí)∠DOM-∠DON=42°，即 \frac{1}{2}(102°-2t°)-\frac{1}{2}(6t°-78°)=42°，解得t=12(不符合題意，舍去);\ $

$情況三：當(dāng)∠COD停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，OA繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OA旋轉(zhuǎn)264°時(shí)，有∠MON=42°，此時(shí)t=\frac{264}{8}=33.$

$綜上所述，符合條件的t的值為12或33$

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