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$(1)解：如圖，過點C作CG⊥y軸于點G$

$∴∠BGC=∠AOB=90°$

$∵四邊形ABCD是正方形$

$∴BC=AB，∠ABC=90°$

$∴∠ABO+∠CBG=∠ABO+∠BAO=90°$

$∴∠CBG=∠BAO$

$在△CBG和△BAO中$

${{\begin{cases} {∠CBG=∠BAO } \\ {∠BGC=∠AOB } \\ {BC=AB} \end{cases}}}$

$∴△CBG≌△BAO(AAS)$

$∵A（3，0），B（0，a）（-3＜a＜0）$

$∴OA=3，BO=-a$

$∴BG=OA=3，CG=BO=-a$

$∴OG=BG-BO=3+a$

$∴C（a,3+a）$

$∵點E與點A關于y軸對稱$

$∴E(-3,0)，設直線EF的函數關系式為y=kx+b$

$將E(-3,0)，C(a，3+a)代入$

$得\begin{cases}{-3k+b=0\ }\ \\ {ak+b=3+a\ } \end{cases}$

$解得\begin{cases}{ k=1 }\ \\ { b=3 } \end{cases}$

$∴直線EF的函數表達式為y=x+3$

$(2)（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）$

$由題意可得D點坐標(2,2)$

$設二次函數表達式為$

$y=ax^2+bx+c$

$將D、B、E代入y=ax^2+bx+c得$

${{\begin{cases} {{4^a+4b+c=2}} \\{2^2a+2b+c=2} \\ {6^2a+6b+c=0} \end{cases}}}$

$解得{{\begin{cases} {{a=-\frac14}} \\ {b=\frac {3}{2}} \\ {c=0} \end{cases}}}$

$y=-\frac14x^2+\frac32x$

$(2)G運動路徑長為\frac13$

$解：(1)設△DBF翻折后點B落到$

$AC上的H點$

$由翻折可得△DBF≌△DHF$

$∴∠BDF=∠HDF$

$又∵D為BC中點$

$∴CD=DB=DH$

$∴∠DCH=∠DHC$

$∠BDF+∠HDF$

$=∠DCH+∠DHC$

$∴∠DHC=∠HDF$

$∴DE//CA$

$∵矩形OABC，B(4,2)$

$∴CB//OA，OA=CB=4$

$∴四邊形AEDC是平行四邊形$

$∴AE=CD=\frac12CB=2$

$OE=OA+AE=6，點E(6,0)$

$解：CE=\sqrt{2}DF．理由如下：$

$如圖2，過點C作CP⊥x軸于點P，過點C作CG⊥y軸于點G，過點D作DH⊥CG于點H $

$由(1)同理得△CDH≌△BCG(AAS)$

$∴CH=BG=3$

$∵直線EF的函數關系式為y=x+3$

$∴F(0，3)$

$∴OF=3$

$∴OE=OF=3$

$∴△EFO是等腰直角三角形$

$∴∠CEP=45°$

$∵∠CPO=∠POG=∠OGC=90°$

$∴四邊形OPCG是矩形$

$∴CP=OG，CG=OP$

$∵C(a,3+a)$

$∴OP=CG=DH=-a,CP=3+a$

$∵FG=3-(3+a)=-a=DH，FG//DH，∠H=90°$

$∴四邊形DFGH是矩形$

$∴DF=GH=3+a$

$∵△CEP是等腰直角三角形$

$∴CE=\sqrt{2}CP=\sqrt{2}(3+a)$

$∴CE=\sqrt{2}DF$

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